第四章 強(qiáng)非線性系統(tǒng)的頻閃—諧波平衡法
4-1 引言
在探索具有非線性遲滯特性元件的系統(tǒng)在簡諧激勵下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解方法時码邻，我們擬研究以下系統(tǒng)：
M
+
（x滓层，
庐舟，A丰浙，ω）=Pcosωt （4-1）
式中M為系統(tǒng)質(zhì)量，P為激勵力幅值，ω為激勵園頻率（x，董记，A，ω）=1（A赐赁，x）+2（A檀塌，ω，）雕踊，1和2分別為上章中的（3-12）和（3-41）式前河。為研究方便，將（3-12）和（3-41）式代入（4-1）式并改寫成以下形式：
式中K1（A）挺候，K3（A）框嫁，K5（A），K7（A）即钞，K9（A）為（3-27）式形炬。由式（4-2）可知，這一系統(tǒng)是一個強(qiáng)非線性非自治系統(tǒng)部爱。
目前文獻(xiàn)上的一些方法對于弱非線性系統(tǒng)是有效的亏吝，而對于（4-2）式的強(qiáng)非線性系統(tǒng)則遇到了麻煩。由于描述非線性振動系統(tǒng)的微分方程種類繁多盏混，沒有普遍的解法蔚鸥，因此，仍然只有極少非線性振動方程可求得精確解许赃≈瓴瑁可行的辦法是針對不同非線性振動方程的特點(diǎn)尋求一些近似數(shù)值解法。為研究方便图焰，將（4-2）式進(jìn)一步寫成以下形式：
式中：
f（x，蹦掐，t）=-μ+δcosωt （4-6）
ε為正小參數(shù)技羔。
對于形如（4-4）式這樣的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，李驪提出了一種新的頻閃法卧抗，近年藤滥，杜惠英和李驪用頻閃法研究了含有x5項強(qiáng)非線性系統(tǒng)的共振解和亞諧解雖然原則上該方法可適用于任意階強(qiáng)非線性系統(tǒng)，但是在實(shí)際應(yīng)用中對更高階項會遇到積分計算問題社裆，大大地限制了這種方法用于高階強(qiáng)非線性系統(tǒng)的研究拙绊。為了解決積分計算的困擾，本章提出一種新的方法—頻閃—諧波平衡法谈毫。
4-2 頻閃—諧波平衡法
式中
=
g/x哟俩，然后將（4-22），（4-23）及f（x，褐琼，t）在rcosθ+b與-rф0sinθ鄰域內(nèi)以ε冪級數(shù)展開式代入（4-4）式订淑，由等號兩端ε的系數(shù)相等得：
式中f=f（rcosθ+b，-rф0sinθ涤瘸，t）搁排，在進(jìn)行以上積分時f中的時間t 代入以θ表示的函數(shù)，求法如下：
因為A1延砾，x1占窥，ф1各式右端均為ε=0時（4-19）中第二式和第三式中ε=0得：
由此兩式可求得r=常數(shù)，θ=θ（r段辈，
唆海，t）然后可求出反函數(shù)t=t（r，肖喂，θ）簇抵。由于t式中包含θ0的初值，因此由（4-26）～（4-28）式求得的A1射众，x1碟摆，ф1中也必然所含，即A1（r叨橱，）典蜕， x1（r，）罗洗，ф1（r愉舔，，θ0）伙菜。
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