為得到（4-2）式的頻閃方程们妥，首先由（4-20）求導(dǎo)得：
將（4-20）式代入（4-19）式昏滔，并將A1辙浑，ф1在
矩粒，θ0鄰域內(nèi)展開為ε的冪級(jí)數(shù)得：
比較（4-31）式與（4-30），由ε的同次冪系數(shù)相等得：
由此可解得θ0=θ0（锉择，
轴及，t），反函數(shù)t=t（莽恩，肩卡，θ0），將此式以及（4-20）代入（4-26）～（4-28）式妨试，令等號(hào)兩端在嗦忍，θ0鄰域內(nèi)展開為ε的冪級(jí)數(shù)并令不含ε的項(xiàng)相等得：
設(shè)頻閃時(shí)間間隔為T=nT0，其中T0為x0=cosθ0+b（）的周期词俏，n為正整數(shù)阿绣。于是有θ0（，标腮，T）-θ0（郁邪，，0）=0祈很。據(jù)此昧识，由（4-20）和（4-34）并略去ε二次以上微量得：
令△τ=εT，則上式化為：
這就是對應(yīng)于（4-2）式的頻閃差分方程盗扒，即（4-2）式在Poicare平面上以T為周期的點(diǎn)變換方程跪楞。如ε充分小，則可令△τ=dτ侣灶，△r=dr习霹，△θ=dθ朵耕，此外，（4-36）中的淋叶，雖為初始值但卻可以是平面上任一點(diǎn)（r阎曹，θ）于上（4-36）可寫成：
此式就是對應(yīng)于（4-2）的頻閃方程。如果（4-37）存在—穩(wěn)定—次奇點(diǎn)（r*煞檩，θ*）处嫌，則在此奇點(diǎn)ε鄰域內(nèi)必存在一點(diǎn)（
，
）斟湃，使（4-2）以此點(diǎn)為初始的解為穩(wěn)定周期解熏迹，周期為T，其一次近似表達(dá)式為：
在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中凝赛，為了求出系統(tǒng)的各次諧共振解挫勿，必須考慮（4-15）中各次諧波的影響，為此對以上方法作如下改進(jìn)：
由（4-15）式可知庭授，-dθ0/dt應(yīng)為實(shí)數(shù)琴哗，因此，可以證明（4-15）中的
的絕對值小于1粉只。于是可將（4-15）式中的根號(hào)部分展開成收斂冪級(jí)數(shù)吟叙。為了將冪級(jí)數(shù)形式的dθ0/dt引入（4-33）、（4-34）各式進(jìn)行計(jì)算暇鸦，須對（4-33）中的積分項(xiàng)
進(jìn)行變換揍丘。利用（4-18）式，得變換如下：
為求（4-2）的各次諧共振牺胎，令ω=（m/n）p楞庸，其中m，n暂一，為互質(zhì)整數(shù)晾胡。于是有：
在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)受到周期性外力作用的情況下屯远，有可能產(chǎn)生三類運(yùn)動(dòng)蔓姚，非共振運(yùn)動(dòng)捕虽，共振運(yùn)動(dòng)慨丐，由非共振運(yùn)動(dòng)到共振運(yùn)動(dòng)的過渡過程，即瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)泄私。對于共振運(yùn)動(dòng)來說房揭，有三類，(l)m=n晌端，即ω=p捅暴，這是通常所說的共振恬砂，稱為主共振，(2)n=1蓬痒，ω=mp泻骤，產(chǎn)生泛音共振，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)梧奢，產(chǎn)生次諧波共振狱掂，(3）m=1，ω=p／n亲轨，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)陈伪，產(chǎn)生超諧波共振。將冪級(jí)數(shù)形式的dθ0／dt代人（4-40)熬席，并計(jì)算該式在O～2π區(qū)間的定積分泛倦，可以得出結(jié)論：只有當(dāng)n=1，m=±1贝狈，±3习环，±5，±7防徊，……時(shí)才可能得到（4-2）的周期解柏豆，并且（4-2）式只可能產(chǎn)生主共振解和次諧波共振解。
由前面推導(dǎo)可知选芦，系統(tǒng)（4-2）有周期解時(shí)这毁，第一個(gè)頻閃方程dr/dτ=A1（r，0）=0赌列，于是由（4-33）第一式和（4-40）式混闪，再令n=1，m=1阅嘶，3属瓣，5，7可求得（4-2）系統(tǒng)存在主共振解讯柔，1/3次諧波共振解抡蛙，1/5及1/7次諧波共振解時(shí)，μ與δ魂迄，應(yīng)滿足的關(guān)系式為：
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