二添毒、考慮頻率影響的數(shù)學(xué)模型
在這種情況下，聯(lián)軸器的數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式為（3-7）式授灵，下面分別討論
l和2函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式：
1.非遲滯非線性彈性恢復(fù)力l的數(shù)學(xué)模型
由試驗(yàn)研究知道堵忌，聯(lián)軸器的彈性恢復(fù)力不僅是振幅的的函數(shù)而且還是頻率的函數(shù)扇述，隨著頻率的增大，在一定頻率范圍內(nèi)杯道，彈性恢復(fù)力逐漸減小匪煌，然后趨于一定值，根據(jù)這一特性党巾，在建造彈性恢復(fù)力新的數(shù)學(xué)模型時(shí)萎庭，引進(jìn)一個(gè)能描述這一特性的指數(shù)函數(shù)項(xiàng)e-flr（f），這樣齿拂，新構(gòu)建的彈性恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型為：
同時(shí)驳规，定義幾個(gè)新函數(shù)參數(shù)，a2i-1（f）為剛度幅值頻率影響系數(shù)署海，它表示聯(lián)軸器彈性元件各階剛度的幅值受頻率變化影響的程度吗购；β2i-1（f）稱為剛度幅值頻率衰減系數(shù)，表示彈性元件各階剛度的幅值隨頻率增加的衰減程度砸狞；y2i-1（f）稱為剛度頻率衰減系數(shù)捻勉，表示彈性元件各階剛度隨頻率增加的衰減速率镀梭，y2i-1（f）愈大，剛度值隨頻率減小的速度就愈慢踱启，反之报账，則愈快。從理論上講庵恨，只有當(dāng)f值趨于無(wú)窮大時(shí)迄帘，exp{-f/[ y2i-1（f）]}才趨于零，各階剛度
2i-1（A诀烫，f）才趨于各自的定值K2i-1（A）[α2i-1（f）-β2i-1（f）]换蛔。但事實(shí)上，由于指數(shù)曲線開始變化較大卜锡，而后逐漸緩慢孽强，所以，實(shí)際上f達(dá)到一定值后歉赴，exp{-f/[ γ2i-1（f）]}已經(jīng)很小了氮妆，例如，設(shè)f=5 γ2i-1（f）柄午，這時(shí)有：
2i-1（A匹溪，f）= K2i-1（A）[α2i-1（f）-β2i-1（f）（1-e-5）]
= K
2i-1（A）[α
2i-1（f）-β
2i-1（f）×0.99326] （3-20）
當(dāng)頻率f=8，10爽咒，…玩冷，30赫茲時(shí)，剛度不再隨頻率的變化而變化炼幔，由此可得γ2i-1（f）=1秋茫，6,2，…乃秀，6肛著；α2i-1（f）-β2i-1（f）×0.99326=βc，這些參數(shù)值和關(guān)系式在辨識(shí)（3-19）式中參數(shù)時(shí)跺讯，可作為已知條件應(yīng)用枢贿。
從以上分析可知，(3-18）式表示的數(shù)學(xué)模型能客觀地反映聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力隨振幅和頻率變化的規(guī)律刀脏。
2.遲滯非線性阻尼力2的數(shù)學(xué)模型
當(dāng)同時(shí)考慮振幅和頻率對(duì)遲滯阻尼力2的影響時(shí)局荚，2將是振幅和頻率的函數(shù)，如果經(jīng)過參數(shù)辨識(shí)說明（3-14）形式的數(shù)學(xué)模型能合理地描述阻尼力愈污，那么耀态，在同時(shí)計(jì)及振幅和頻率對(duì)遲滯阻尼力2的影響時(shí)，我們?nèi)越⑦t滯阻尼力的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為（3-14）式的形式钙畔，不過其中各系數(shù)不僅是振幅A的函數(shù)而且還是頻率f的函數(shù)茫陆，建立的第二種數(shù)學(xué)模型仍以等效粘性阻尼來描述遲滯非線性阻尼槽悼，與(3-15）式所不同的是，在此建立聯(lián)軸器阻尼耗能的函數(shù)時(shí)毛围，同時(shí)考慮聯(lián)軸器遲滯回線面積隨振幅A和頻率f變化的規(guī)律页梁，而在建立（3-15）式時(shí)僅考慮聯(lián)軸器遲滯回線面積隨振幅A的變化規(guī)律。為了敘述方便沸恤，這些問題在參數(shù)辨識(shí)一節(jié)中討論队淳。這樣，這二種阻尼力模型為：
綜上所述真稚，將（3-12）式與（3-18）式比較千雏，將（3-14）～（3-15）式與（3-21）～（3-22）對(duì)應(yīng)式比較可知，后者同時(shí)考慮了振幅A和頻率f對(duì)聯(lián)軸器恢復(fù)力的影響农帝，因而適用范圍較前者僅考慮振幅A的影響時(shí)更大误目，但后都數(shù)學(xué)表達(dá)式復(fù)雜，大大地增加了參數(shù)的辨識(shí)難度舆飒。由試驗(yàn)研究知轴私，頻率變化對(duì)恢復(fù)力影響范圍較小，為了簡(jiǎn)化計(jì)算用（3-12）和（3-14）～（3-15）較好能真。
3-4 聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型參數(shù)辨識(shí)
本節(jié)將利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)赁严，根據(jù)上節(jié)建立的聯(lián)軸器恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型的類型，聯(lián)分別選用線性參數(shù)辨識(shí)方法和非線性參數(shù)辨識(shí)方法粉铐，按最小二乘法原理疼约，辨識(shí)聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)，找出各參數(shù)與振幅和頻率的關(guān)系蝙泼，得到聯(lián)軸器恢復(fù)力由彈性和阻尼力描述的函數(shù)關(guān)系式程剥。
一、參數(shù)辨識(shí)的難點(diǎn)
聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型函數(shù)關(guān)系的復(fù)雜性以及函數(shù)關(guān)系式中參數(shù)的非線性都給參數(shù)辨識(shí)工作帶來困難踱承。針對(duì)這些情況倡缠，對(duì)數(shù)學(xué)模型中某些參數(shù)隨振幅和頻率變化規(guī)律還不能給出表達(dá)式時(shí)哨免，我們先求出這些模型在不同振幅和頻率下茎活，各參數(shù)隨振幅和頻率變化的離散值，然后根據(jù)這些離散值隨振幅和頻率變化的規(guī)律琢唾，來定出函數(shù)表達(dá)式载荔，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)一步找出這些參數(shù)與振幅和頻率的函數(shù)關(guān)系，最后得到聯(lián)軸器恢復(fù)力與振幅采桃、頻率懒熙、位移和速度的表達(dá)式。
二脂壁、參數(shù)辨識(shí)
1.辨識(shí)不考慮頻率影響數(shù)學(xué)模型的參數(shù)
不考慮頻率影響時(shí)聯(lián)軸器的數(shù)學(xué)模型為（3-12）～（3-15）式囤乎，
a.非線性彈性恢復(fù)力l數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的辨識(shí)
此中情況下靡黑，l的表達(dá)式為（3-12）和（3-13）式。由這兩式可知敢薄，模型中含有九階的高次非線性彈性力帽惠，其各階動(dòng)剛度K2i-1 (A）是振幅的函數(shù)，數(shù)學(xué)模型為一個(gè)n′階的冪函數(shù)多項(xiàng)式艇线，K2i-1 (A）是各參數(shù)b0剧鹏，2i-1～bn，2i-1 (i=1,2游鹿，…盔惑，5）的線性函數(shù)。于是各階動(dòng)剛度K2i-1 (A）中各參數(shù)辨識(shí)可歸結(jié)以下最小二乘法問題：
已知K2i-1 (A）是關(guān)于自變量X=[A义誓，A2律坎，…An′]T和待定參數(shù)B=[ b0，2i-1蟋定，b1途凫，2i-1，…溢吻，bn′维费，2i-1]T的形式已知的函數(shù)（3-13)，簡(jiǎn)寫成：
K2i-1 (A）=f（X促王，B） （3-23）
今給出（X犀盟，K2i-1 ）的n對(duì)試驗(yàn)值：
（XK，K2i-1蝇狼，K） （k=1阅畴，2，…迅耘，n） （3-24）
要求確定參數(shù)B使
得一組線性方程組贱枣，在n>k的情況下，聯(lián)立求解這一線性方程組即可求得唯一的一組B值颤专。根據(jù)此法求得（3-13）式中參數(shù)值并代回可得：
將（3-27）式中剛度函數(shù)作成曲線如圖3-3(a）-（e）所示纽哥，由一階動(dòng)剛度函數(shù)圖3-3(a）可知，振幅在lmm～2mm范圍內(nèi)時(shí)衙猾，動(dòng)剛度隨振幅增大而增大柬激，呈硬特性；當(dāng)振幅在2mm～7mm范圍內(nèi)時(shí)斧与，動(dòng)剛度隨振幅增大而減小行忘，呈軟特性；當(dāng)振幅在7mm～8mm范圍時(shí)，動(dòng)剛度隨振幅增大略有回升牡徘。由此圖可知喧撕，在聯(lián)軸器初始小振幅和極限振幅附近范圍內(nèi)，動(dòng)剛度呈硬特性式伶，而在中間振幅范圍內(nèi)呈軟特性寓综。K5（A）和K9（A）也具有類似的特性。而K3（A）和K7（A）在小振幅時(shí)呈軟特性焦厘，這樣的動(dòng)剛度特性滿足船舶緩沖減振降噪的要求耿堕，即在一般低能量風(fēng)浪流作用下，該聯(lián)軸器鋼絲繩元件的變形小绽脏，動(dòng)剛度大味廊，呈硬特性，這能保證船舶推進(jìn)軸系的基頻高于風(fēng)浪流的顯著能量頻率棠耕；在大能量風(fēng)浪流和沖擊作用下時(shí)余佛，聯(lián)軸器由于載荷增大而變形增大，這種情況下動(dòng)剛度軟化窍荧，使船舶推進(jìn)軸系頻率變小辉巡，向遠(yuǎn)離大能量風(fēng)浪流和沖擊顯著能量頻率一側(cè)偏移，在遲滯阻尼下耗散能量蕊退，使軸系沖擊振動(dòng)響應(yīng)降低郊楣。由（3-27）式和（3-12）式可作出相應(yīng)的彈性恢復(fù)力單值曲線如圖3-4所示。將圖3-4中代表彈性恢復(fù)力的單值曲線與圖3-2中的單值曲線比較可知瓤荔，(3-12）式能較好地描述聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力隨振幅變化的規(guī)律净蚤。
b.非線性阻尼力數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的辨識(shí)
此情況下，建立了二種數(shù)學(xué)模型（3-14）式和（3-15）式输硝。對(duì)于（3-14）式描述的模型今瀑，2是參數(shù)n的非線性函數(shù)，因此点把，在進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)時(shí)橘荠，需要用非線性參數(shù)的辨識(shí)方法。此時(shí)氢碰，這種模型中各參數(shù)的辨識(shí)可歸結(jié)為如下的最小二乘法問題：
已知2是關(guān)于自變量X=[x1克酿，x2，…济谢，xp]T和待定參數(shù)B=[b1盏掉，b2，…情腥，bm]T的形式已知函數(shù)（3-14）式，簡(jiǎn)寫成：
2=f（X钮核，B） （3-28）
對(duì)于給定的n組試驗(yàn)數(shù)據(jù)值（Xk辰张，2k）形负，要求確定參數(shù)B使
為最小。對(duì)于這種非線性參數(shù)識(shí)別欢巡，很難直接進(jìn)行求解瞒礼，通常采用逐次逼近的方法處理，在此采用高斯-牛頓法來辨識(shí)致驶。高斯-牛頓法的基本思想是：先給出各參數(shù)bi的一個(gè)初始值芯勘，記為
，初值與真值之差為△i腺逛，即有：
bi=+△i （i=1荷愕，2，…棍矛，m） （3-30）
這樣安疗，確定bi的問題就變成了確定△i的問題。為確定bi够委，在鄰域內(nèi)將函數(shù)f（X荐类，B）作代臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，并略去△i的二次及二次以上項(xiàng)得：
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