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第五章 鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù)優(yōu)化

影響鼓形齒聯(lián)軸器承載能力和工作壽命因素較多躬充，如齒輪參數(shù)宽考、制造質(zhì)量颂碧、材料及熱處理粪业、潤滑條件等等。齒輪參數(shù)的設(shè)計(jì)是其中非常重要的一個(gè)方面俗股。由于缺乏對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器機(jī)理的研究捉肄，現(xiàn)在使用的齒輪參數(shù)的設(shè)計(jì)沒有可靠的依據(jù)，設(shè)計(jì)計(jì)算比較粗略站绑。通過前一章對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器的深入的嚙合和力學(xué)機(jī)理研究焦莉，我們可以對(duì)齒輪參數(shù)的影響加以討論，建立適當(dāng)?shù)膮��?shù)優(yōu)化模型季佣，求解出最優(yōu)的鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù)份帮，為經(jīng)濟(jì)可靠地設(shè)計(jì)長壽命鼓形齒聯(lián)軸器提供依據(jù)。

5.1 鼓形齒輪鼓度曲線的優(yōu)化

由第四章的分析知溪茶，共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器具有較好的傳動(dòng)特性手财，其嚙合重合度大，線接觸嚙合徊极，無齒面曲率干涉徐扯，等速傳動(dòng)等。因而接觸強(qiáng)度高狡秋，無附加動(dòng)載荷苫馏。共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器的鼓形齒輪可采用“雙分齒切齒法”加工^[116]，但由于該方法所用附加裝置結(jié)構(gòu)剛性較差胜嗓，因此不適宜于加工較大模數(shù)的鼓形齒輪高职。非共軛齒面鼓形齒輪是在不同軸載面上采用不同變位系數(shù)形成齒面的，其變位量與軸向坐標(biāo)的關(guān)系曲線就是鼓度曲線兼蕊，它可以在經(jīng)改裝后的滾齒機(jī)上加工初厚，加工范圍不受工藝裝備限制。但是根據(jù)前面分析知孙技，傳統(tǒng)的圓弧鼓度曲線的鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)特性較差产禾。因此，對(duì)鼓度曲線進(jìn)行優(yōu)化牵啦，使非共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器具有更優(yōu)良的傳動(dòng)特性亚情，是鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù)優(yōu)化的一個(gè)重要內(nèi)容。

由于共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器具有最佳的傳動(dòng)特性哈雏，因此將非共軛齒面與共軛齒面進(jìn)行曲面逼近楞件，所得到的非共軛齒面無疑是最佳的。

5.1.1 坐標(biāo)系及坐標(biāo)變換

坐標(biāo)系及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系與3.3.4.1所給相同裳瘪。

5.1.2 共軛齒面鼓形齒輪齒面方程

共軛齒面鼓形齒輪齒面在S₂₀坐標(biāo)系的方程在第三章已推出為

式中各量與前述相同土浸。

5.1.3 非共軛齒面鼓形齒輪齒面方程

與第四章的非共軛齒面鼓形齒輪齒面方程推導(dǎo)類似，可以得出其齒面方程在S₂₀坐標(biāo)系的方程為

式中 β₁=π/(2z)+2δtgα/(mz)+tgα-α+(2x_r1tgα+x_τ1)/z；δ為鼓形變位量交豪，由不同軸截面上δ值擬合出的曲線即為鼓度曲線唾囚。其余各量與前述相同。

5.1.4 鼓形變位量δ的求解

數(shù)學(xué)方法上善占，兩曲面的逼近是“極大極小問題”君哮，雖已有這方面的理論探討，但還沒有成熟的計(jì)算軟件遮英。本文采用截面曲線逼近的方法（如圖5-1所示）焊槐，將軸向坐標(biāo)離散，求得各截面上曲線逼近的δ值厅瘩，再根據(jù)δ值的軸向分布形態(tài)斗液，確定擬合的函數(shù)形式，以最小二乘法擬合出鼓度曲線紊尺。

1.各截面上δ值的求解

先假設(shè)δ為零啊沟，在共軛和非共軛鼓形齒輪上截取與中截面等距離的軸截面，將兩種齒面的軸截面疊合作瞄，此時(shí)，齒面與截取面的兩條交線不重合危纫；以齒面與截取面的兩條交線相切為目標(biāo)進(jìn)行一維搜索計(jì)算宗挥，即可求得此截面上的δ值。在齒寬不同位置分別進(jìn)行計(jì)算种蝶，即可求得一系列關(guān)于δ與軸向坐標(biāo)的離散點(diǎn)坐標(biāo)值契耿。

2.鼓度曲線的擬合

通過對(duì)不同參數(shù)鼓形齒輪的曲面逼近計(jì)算，得到多組關(guān)于δ與軸向距離的離散坐標(biāo)值螃征。由離散點(diǎn)的分布形態(tài)及最小二乘法擬合計(jì)算知^[119]搪桂，擬合成雙曲線的誤差最小。優(yōu)化鼓度曲線及其坐標(biāo)如圖5-2所示盯滚，擬合雙曲線方程為

式中 a——雙曲線的漸近線斜率踢械；

b——雙曲線頂點(diǎn)與分度圓柱線的距離。

由（5-1-1）式和（5-1-2）式魄藕，根據(jù)上述方法内列，可編制優(yōu)化鼓度曲線參數(shù)的計(jì)算程序，用該程序背率，只需輸入鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù)话瞧，便可計(jì)算出優(yōu)化鼓度曲線的曲線參數(shù)a和b。根據(jù)多組參數(shù)計(jì)算發(fā)現(xiàn)蛇筷，雙曲線的漸近線斜率a=tgθ/tgα鹅媒，與其他齒輪參數(shù)無關(guān)；雙曲線頂點(diǎn)與分度圓柱線的距離b與各齒輪參數(shù)有關(guān)，但關(guān)系較復(fù)雜矛郁，因此該參數(shù)直接由優(yōu)化計(jì)算程序得出意苞。

文獻(xiàn)[77]采用計(jì)算機(jī)交互圖像技術(shù)進(jìn)行數(shù)值分析和綜合，精度受到一限制膛画，也未給出定量解酥盼，其定性分析結(jié)果與本文的結(jié)果較接近。

5.1.5 運(yùn)動(dòng)分析

由第四章所給出的內(nèi)齒輪齒面方程（4-1-3）式及優(yōu)化鼓度曲線的鼓形外齒輪齒面方程癞亩，運(yùn)用非共軛鼓形齒聯(lián)軸器運(yùn)動(dòng)分析方法传等，可進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。將式（5-1-3）的δ代入（5-1-2）式的β₁中绪痘，可得優(yōu)化鼓度曲線鼓形齒輪齒面方程為

式中

對(duì)相同齒輪參數(shù)的優(yōu)化鼓度曲線和圓弧鼓度曲線鼓形齒輪聯(lián)軸器在相同的軸交角下進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算鹉奸，得出的對(duì)比數(shù)據(jù)如表5-1所給。從這兩組數(shù)據(jù)可以看出钱雷，在存在工作軸間傾角下骂铁，優(yōu)化鼓度曲線的△φ_max（°）比圓弧鼓度曲線的△φ_max（°）有大幅度的減小≌挚梗△φ_max（°）值反映了鼓形齒聯(lián)軸器運(yùn)動(dòng)的非勻速程度拉庵、實(shí)際嚙合對(duì)數(shù)多少及嚙合齒對(duì)的載荷分配情況√椎伲△φ_max（°）越小钞支，非勻速程度越小、實(shí)際嚙合齒對(duì)數(shù)越多操刀、載荷分配越均勻烁挟。因此，由嚙合運(yùn)動(dòng)分析可以看出骨坑，優(yōu)化鼓度曲線的鼓形齒聯(lián)軸器比圓弧鼓度曲線鼓形齒聯(lián)軸器的嚙合特性有很大的改善撼嗓。而且在經(jīng)數(shù)控化改造后的滾齒機(jī)上，加工優(yōu)化鼓度曲線的鼓形齒輪也非常方便欢唾。因此且警，鼓形齒輪鼓度曲線的優(yōu)化是改善鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)特性、提高其工作壽命的有效而可行的重要途徑匕冠。

表5-1 嚙合最大差角△φ_max（°）

5.2 齒輪參數(shù)對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)特性的影響

5.2.1 模數(shù)和齒數(shù)

齒輪的模數(shù)由輪齒彎曲強(qiáng)度所決定胚僧。模數(shù)越大，齒根厚度越大逾族。輪齒的彎曲強(qiáng)度越高渡厦。對(duì)于傳遞一定力矩的鼓形齒聯(lián)軸器，標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定了其外部尺寸床斜，即確定了齒輪的徑向和軸向尺寸审鸿。由鼓形齒聯(lián)軸器重合度分析知扇收，分度圓直徑一定時(shí)，減小模數(shù)超茎、增大齒數(shù)役倾，可以提高重合度，因此應(yīng)在滿足彎曲強(qiáng)度條件下标霎，選用較小的模數(shù)刃撮。齒數(shù)應(yīng)取為2的倍數(shù)，因?yàn)閺膰Ш戏治鲋�铡说，嚙合的受力狀態(tài)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的畸裳，齒數(shù)為2的倍數(shù)有利于受力的平衡。另外淳地，對(duì)于內(nèi)齒輪怖糊，還要求齒頂圓直徑大于基圓直徑，即

若采用正變位齒輪颇象，其齒數(shù)可小于上述值伍伤。

5.2.2 齒高系數(shù)

齒高系數(shù)越大，重合度越大遣钳，但齒高系數(shù)的增大對(duì)重合度增大的影響較小扰魂。從齒面接觸線形態(tài)看，增加齒高有利于提高接觸強(qiáng)度蕴茴。齒高增加阅爽，齒面滑動(dòng)系數(shù)增加。因此總的來看不宜以增加齒頂高系數(shù)來增加重合度荐开。

鼓形齒聯(lián)軸器中，外齒輪齒頂高系數(shù)為h_a1^*简肴，其齒根高系數(shù)為h_f1^*=h_a1^*+c₁^*晃听；內(nèi)齒輪齒頂高系數(shù)為h_a2^*，其齒根高系數(shù)為h_f2^*=h_a2^*+c₂^*尚羽，且h_f2^*=h_a1^*呛米，在我國現(xiàn)行產(chǎn)品中有h_a1^*=1、h_f1^*=1.25拌驻、h_a2^*=0.8洒已、h_f2^*=1和h_a1^*=0.8、h_f1^*=1.05牲晤、h_a2^*=0.8受贫、h_f2^*=0.8兩種。

5.2.3 壓力角

分度圓壓力角對(duì)輪齒曲率碍逐、齒根和齒頂厚度及法線方向有影響浴蝉，因而也對(duì)嚙合時(shí)的誘導(dǎo)法曲率亥戒、齒面滑動(dòng)率、重合度冗腐、齒面作用力及輪齒接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力有影響率偏。增大壓力角，誘導(dǎo)法曲率減小蚊患、接觸強(qiáng)度提高浙于；齒根厚度增大，彎曲強(qiáng)度提高挟纱；齒面滑動(dòng)率減小羞酗，改善了磨損；重合度減小樊销，但相對(duì)減小量不大整慎；法向力增大∥�苫？紤]到市場上能方便地買到齒輪刀具裤园，我國目前一般采用α=20°。

5.2.4 變位系數(shù)

鼓形齒聯(lián)軸器是等齒數(shù)的交錯(cuò)軸內(nèi)外齒輪傳動(dòng)剂府，因此只能采用等徑向變位（即x_r1=x_r2）拧揽。采用正的徑向變位與增大壓力角有類似的影響，但采用徑向變位比改變壓力角在加工上更容易實(shí)現(xiàn)腺占，因?yàn)楦淖儔毫�角需用專用的刀具淤袜。采用切向變位可以改變�?nèi)外齒輪的齒厚，但不影響其他嚙合特性衰伯，鼓形齒聯(lián)軸器的嚙合側(cè)隙就是采用切向變位來保證的蜻赃。

5.2.5 齒寬系數(shù)

齒寬系數(shù)影響輪齒的齒根彎曲強(qiáng)度和接觸強(qiáng)度，齒寬系數(shù)大善王，兩項(xiàng)強(qiáng)度值越大钥币。齒寬系數(shù)影響重合度，在齒寬系數(shù)小于一定值范圍時(shí)带蔬，其值的增大對(duì)重合度增加影響較大嘁老，而在大于這個(gè)一定值時(shí)，其值的增大對(duì)重合度增加影響較泄湛浮（見圖4-4b）醉镇。對(duì)于圓弧鼓度曲線的鼓形齒聯(lián)軸器，齒寬還是確定鼓度半徑和側(cè)隙的參數(shù)楷焦，齒寬越大觉祸，鼓度圓弧半徑越大，所需的側(cè)隙也越大头位。因此杉硅，在齒根彎曲強(qiáng)度和齒面接觸強(qiáng)度足夠的條件下應(yīng)以有較大的重合度來確定齒寬给酥，不應(yīng)盲目增加齒寬，以免使結(jié)構(gòu)尺寸不必要地增加杏死。一般取齒寬系數(shù)ψ_B=8～14泵肄。最小齒寬應(yīng)由允許的齒根應(yīng)力來確定，還要考慮由軸間傾角引起的著力點(diǎn)沿齒寬位移所需的寬度淑翼。

5.3 齒輪參數(shù)的優(yōu)化

齒輪參數(shù)的優(yōu)化是一個(gè)多目標(biāo)的問題腐巢，一方面希望有最小的結(jié)構(gòu)尺寸，另一方面希望有足夠的強(qiáng)度及最佳的嚙合特性玄括。由于鼓形齒聯(lián)軸器標(biāo)準(zhǔn)中已規(guī)定了外部尺寸冯丙，故本問題優(yōu)化的關(guān)鍵是在一定的結(jié)構(gòu)尺寸下確定內(nèi)部齒輪參數(shù)的優(yōu)化值，使其具有最佳的承載能力和最長的工作壽命遭京。鼓形齒聯(lián)軸器的失效形式胃惜，主要是外齒輪齒面磨損后輪齒折斷失效，因此哪雕，增加外齒輪齒厚船殉，提高其齒根彎曲強(qiáng)度和減少齒面磨損是提高鼓形齒聯(lián)軸器承載能力和工作壽命的關(guān)鍵。

一般鼓形齒聯(lián)軸器的齒頂高系數(shù)h_a1^*=1斯嚎，徑向間隙系數(shù)c₁^*=0.25利虫，全齒高h(yuǎn)=2.25m，采用標(biāo)準(zhǔn)齒輪返雷，其內(nèi)外齒輪分度圓齒厚大致相等舔远。它的主要優(yōu)點(diǎn)是內(nèi)外齒輪加工工藝性好，可采用標(biāo)準(zhǔn)齒輪滾刀和插齒刀進(jìn)行加工阎员，且尺寸計(jì)算簡單陌贾。但是這種鼓形齒聯(lián)軸器的外齒輪齒根抗彎強(qiáng)度比內(nèi)齒輪齒根抗彎強(qiáng)度要低，即內(nèi)齒輪齒根彎曲強(qiáng)度有富余伐藕。因此现辑，可設(shè)法增加外齒輪齒厚，提高外齒輪齒根彎曲強(qiáng)度挤帕。通常采用兩種方法：一是采用特殊刀具減簿內(nèi)齒輪齒厚而增加外齒輪齒厚，使內(nèi)外齒輪的抗彎強(qiáng)度接近一致焰哮；另一種方法是采用變位短厚齒型內(nèi)外齒輪贤泥，降低外齒輪齒高，加大外齒輪齒厚仆加，使其粗短练缴，以提高外齒輪的抗彎強(qiáng)度^[75]。前一種方法需采用專用的瘦齒型滾刀唁奢，這給加工帶來不少麻煩霎挟，因此在國內(nèi)不宜推廣窝剖。文獻(xiàn)[75]所出了一種變位短厚齒型鼓形齒聯(lián)軸器的設(shè)計(jì)制造方法，由于是采用標(biāo)準(zhǔn)滾刀和插齒刀進(jìn)行加工酥夭，加工方法簡單易行赐纱，因此工藝性好，生產(chǎn)效率高熬北，是一種較理想的適宜推廣應(yīng)用的設(shè)計(jì)加工方法疙描。但是，該文提出采用齒頂高系數(shù)h_a1^*=0.8不一定合理讶隐，因?yàn)辇X頂高系數(shù)的確定一方面要使內(nèi)外齒輪齒根彎曲強(qiáng)度一致起胰，另一方面又要使內(nèi)外齒輪齒面具有足夠的接觸強(qiáng)度及內(nèi)齒輪齒頂厚應(yīng)大于0.25m。因此必須建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算來確定巫延。將內(nèi)外齒輪輪齒簡化成懸臂梁受力（如圖5-3所示）^[127]效五，本問題是要使內(nèi)外齒輪齒根有接近的齒根彎曲強(qiáng)度，則目標(biāo)函數(shù)為

min(σ_F1-σ_F2)²

式中 σ_F1——外齒輪齒根彎曲應(yīng)力

σ_F2——內(nèi)齒輪齒根彎曲應(yīng)力

設(shè)齒形角α=20°炉峰，頂隙系數(shù)c₁^*=0.25畏妖，模數(shù)齒數(shù)為給定值，根據(jù)這種短厚齒的加工原理是減少滾刀的切入量该捎，使其齒高系數(shù)減小娇歹，這也相當(dāng)于使用齒厚減簿的滾刀來滾切鼓形外齒輪，即相當(dāng)于采用了切向變位加大齒厚枝扭。其切向變位系數(shù)x_τ1與齒高系數(shù)的關(guān)系為x_τ1=2(h_ao^*-h_f1^*)tgα劣屑，式中h_ao^*為滾刀的齒頂高系數(shù)，通常h_ao^*=1.25孵钱，h_f1^*為被切外齒輪齒根高系數(shù)涮凡，h_f1^*=h_a1^*+c₁^*。為了滿足聯(lián)軸器軸間傾角的要求昏滔，除外齒輪有一定的鼓度外肤侍，內(nèi)外齒之間還應(yīng)有一定的齒間側(cè)隙j_n，此側(cè)隙可按一定的原則分配到內(nèi)外齒輪齒厚上挫肆，使它們有相應(yīng)的減簿量弄业。考慮加工的因素及總的要求是減簿內(nèi)齒輪齒厚料离、增大外齒齒厚辈净，因此將j_n全部分配在內(nèi)齒輪上，則內(nèi)齒輪切向變位系數(shù)

x_τ2=2(h_ao^*-h_f1^*)tgα+j_n/cosα袁串；j_n采用以下公式計(jì)算^[120]

j_n=2(r_g/tgα-mz/2)(1-cosθ)cosα

式中 r_g——鼓度圓弧半徑

對(duì)于z≥2(h_a^*+c^*)/(1-cosα)的外齒輪齒根圓弦齒厚_f1可近似用下式計(jì)算^[121]

內(nèi)齒輪齒根圓弦齒厚_f2可近似用下式計(jì)算

對(duì)齒式聯(lián)軸器概而，取h_f2^*=h_a1^*、x_r2=x_r1囱修。

設(shè)外齒輪齒寬為B赎瑰，則內(nèi)齒輪齒寬為1.2B王悍，因此有

式中B、m餐曼、F_n压储、F_n′、α為常數(shù)晋辆，因此目標(biāo)函數(shù)可寫成

約束條件為S_a2≥0.25m渠脉，式中S_a2為內(nèi)齒輪齒頂圓齒厚，即有

由目標(biāo)函數(shù)（5-3-1）式及約束條件（5-3-2）式便構(gòu)成本問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型瓶佳。通過對(duì)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的求解芋膘，可以計(jì)算出不同齒模數(shù)及相應(yīng)的鼓度半徑下的優(yōu)化齒頂高系數(shù)值。表5-2給出了幾種不同輸入?yún)��?shù)下的求解值霸饲，從表中數(shù)據(jù)可以看出凡矿，不同齒數(shù)及鼓度半徑，其優(yōu)化齒頂高系數(shù)不同置芋，但都不超過0.7紊竹。考慮到齒頂高系數(shù)的統(tǒng)一栋湃，建議采用齒頂高系數(shù)為0.7是適宜的壹会。值得指出的是，這種齒頂高系數(shù)的齒輪是采用標(biāo)準(zhǔn)齒頂高系數(shù)滾刀和插齒刀用特殊方法進(jìn)行加工的铲桑。

表5-2 優(yōu)化齒頂高系數(shù)值（α=20° m=3mm）

鼓形齒聯(lián)軸器的齒數(shù)模數(shù)決定了其徑向結(jié)構(gòu)尺寸大小及键。對(duì)于優(yōu)化鼓度曲線的鼓形齒聯(lián)軸器，其嚙合特性與共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器相近掺薪，因此我們可以依據(jù)共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器特性來考慮齒數(shù)模數(shù)的參數(shù)優(yōu)化問題胸胚。圖5-4給出了相同齒輪分度圓直徑和齒寬條件下取不同模數(shù)齒數(shù)時(shí)的重合度曲線，從曲線可以看出相同齒輪分度圓直徑和齒寬條件下啤邑，所取齒數(shù)越多垫嚣，則重合度越大。重合度越大津函，平均每對(duì)齒承受的載荷越小肖粮，多齒嚙合過渡狀態(tài)載荷分配的變化量越小，傳動(dòng)越平穩(wěn)尔苦。因此總的模數(shù)齒數(shù)的選取原則是盡可能選大的齒數(shù)涩馆。但是相同齒輪分度圓直徑條件下，齒數(shù)越大蕉堰，模數(shù)越小。模數(shù)的減小將降低齒根彎曲強(qiáng)度悲龟；另外屋讶，由齒面接觸線形態(tài)知冰寻，模數(shù)的減小也將降低齒面接觸強(qiáng)度。為保證有足夠的齒根彎曲強(qiáng)度和齒面接觸強(qiáng)度皿渗，應(yīng)由所傳遞的轉(zhuǎn)矩和許用應(yīng)力值斩芭，先計(jì)算出所允許的最小模數(shù)，再根據(jù)這個(gè)模數(shù)值及分度圓直徑來確定齒數(shù)乐疆。由于使用中磨損是不可避免的划乖，因此，選取模數(shù)時(shí)還應(yīng)考慮輪齒齒厚有一定的裕量挤土，保證在一定的磨損程度下仍有足夠的強(qiáng)度阶庆。另外，模數(shù)的選取還應(yīng)考慮工藝條件的許可巧杰。這些內(nèi)容包含較多的經(jīng)驗(yàn)成份铺享，在此不予詳細(xì)討論。

鼓形齒聯(lián)軸器的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)是以深入的嚙合特性機(jī)理分析為基礎(chǔ)的谈嚣，它必將為新型長壽命鼓形齒聯(lián)軸器的設(shè)計(jì)提供重要的理論依據(jù)潘乖。

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