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4.3  解題方略

4.3.1  結(jié)構(gòu)有限元分析所用單元的類型選擇

為了計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對照以驗(yàn)證計(jì)算模型的正確與否滥比，所選擇的單元其計(jì)算應(yīng)力應(yīng)能以總體坐標(biāo)的形式來表示疏形。疊片在軸向變形時(shí)结借，其位移量通常在1---2mm（角向位移時(shí)完冻，許多節(jié)點(diǎn)的情況亦如此）這大大超過疊片的厚度（0.2—0.5mm )印叁，因而其有限元應(yīng)力分析應(yīng)為幾何非線性分析影偶∏羰模基于疊片的幾何特性，我們選用三角形板單元來模擬它的大部分區(qū)域剩织，而在螺栓孔附近雄工、疊片被墊片由預(yù)緊力壓住，形成接觸面的區(qū)域我們采用三維體元來模擬激靡，這是因?yàn)樵谶@種情況下开撤，亦即存在著三維接觸元的情況下，APOLANS程序指定必須使用三維體元娩纱，雖然在實(shí)際的幾何尺寸中瞒唇，單一三維體單元上厚度與長、寬尺寸差別較大磨豁，但在實(shí)際計(jì)算中服畜，程序能夠接受這種尺寸比例的體元，因此我們可以認(rèn)為這種形式是適宜的顾翼。當(dāng)然投放，最重要的還是體元和板元的交界部分如何對接。

如上圖網(wǎng)格狀陰影部分為接觸區(qū)适贸，即用體元來表示的區(qū)域灸芳，疊片的其余部分均用板元來表示，對于上圖所指外圈處拜姿，亦即三維體元與板元的交界處烙样，我們采用了如下圖所示對接觸方法。

如圖所示蕊肥，我們以12節(jié)點(diǎn)體元來模擬螺孔中心帶磨擦部分的疊片實(shí)體谒获，右邊為三角形板元，其中第9壁却、第10兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為三維體元和三角形板元共享的節(jié)點(diǎn)批狱，這樣就可以將兩個(gè)部分結(jié)合在一起了。

當(dāng)然展东，在三維體元和三解形板元的邊界對接上是有很多種方法的赔硫，為了確保我們這種對接方式是最為有效、可靠的琅锻，我們做了大量的計(jì)算工作竿饭，嘗試了諸多對接計(jì)算模型的驗(yàn)算，最后得出結(jié)論肴泥，只有上圖所表示的接法才能夠保證在載荷相同的情況下（即原載荷加在板元上不凳，現(xiàn)在加在體元上），板元內(nèi)部各點(diǎn)上所受力耻宋、力矩的方向和數(shù)量級才能保持一致腿弛，其余的各種方法，要么是力的數(shù)量級別產(chǎn)生較大差異雁巾，要么是力躬摆、力矩的方向發(fā)生變化，由此使我們最后認(rèn)定以圖4.3.2所示的對接方法是可反映實(shí)際情況的岔霞，后面將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相印證也證明了這種方法的可行性阻洋。

4.3.2  靜力平衡方程的解法

對于靜力問題最后建立的控制方程為代數(shù)方程組绕鸯，對線性問題為線性代數(shù)方程組，對非線性問題為非線性代數(shù)方程組败芙。

4.3.2.1  線性代數(shù)方程組的解法

一個(gè)線性方程組可寫成

[K][X]=[R]                (4.3.1)

其中[K]為剛度陣鹃壤，[X]為位移向量，[R]為載荷向量壁顶。

大多數(shù)情況下[K]陣是對稱珠洗、正定的，所以有三角化分解：

[K]=[T]^T[T]                (4.3.2)

[T]為上三角陣若专，再進(jìn)一步分解可得

[K]=[T]^T[D][T]                (4.3.3)

此時(shí)[T]為單位對角元的上三角陣许蓖，[D]為對角矩陣，由此得调衰；

[T]^T[D][T][X]=[R]                (4.3.4)

即[T]^T[D][Z]=[R]                (4.3.5)

[Z]=[T][X]                (4.3.6)

式（4.3.5）為前代膊爪，(4.3.6）為回代，由此而計(jì)算出位移向量X 嚎莉，有限元法形成的K矩陣是對稱蚁飒、正定、稀疏的萝喘，非零元主要分布在矩陣對角線兩側(cè)淮逻，一維變帶寬存貯方法利用這一點(diǎn)，各列順序存貯阁簸，但僅存貯第一個(gè)非零元以下的元素爬早，由于對稱僅存上三角矩陣，當(dāng)實(shí)際工程模型較大時(shí)伏嬉，內(nèi)存放不下總剛度陣[K] , 則矩陣將被分塊存貯于磁盤上碟姓，即程序規(guī)定給用戶一部分內(nèi)存空間A 作為工作數(shù)組用，不同計(jì)算階段分配不同存貯內(nèi)容怕翘，在組集總剛度陣時(shí)易传，存各元素信息及分塊的總剛度陣，內(nèi)辞镇、外存交互求解時(shí)放兩個(gè)總剛度陣的塊臭赃。總剛度陣即按A/2忙甩，數(shù)組尺寸自動分成若干塊尽舱，存入磁盤文件。分解時(shí)按序調(diào)各塊進(jìn)入內(nèi)存揉罗。

4.3.2.2  非線性代數(shù)方程組的解法

在疊片的帶摩擦元的強(qiáng)度計(jì)算中元炭，我們采用了帶線性搜索的完全牛頓迭代方法。

一、牛頓拉斐遜法

結(jié)構(gòu)的總位能為：

Π= U(q)-{q}^T{F}          (4.3.7)

其中软吐，U(q)為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能瘩将，{q}^T{F}為外載所做的功。

由虛功原理使上式總位能變分為零可得有限元平衡方程：

Π=[W（q）][P(q)][F]=[K(q)][q]-[F]          （4.3.8）

其中凹耙，[P(q)]是與應(yīng)力等效的節(jié)點(diǎn)力鸟蟹，[F]為外載。

我們有第i 次迭代得到 的［K_i（q_i）］可求到第i+1 次的未知變量｛q_i+1｝ 使兔。

｛q_i+1｝={q_i′}-ω_i[K_i]^-1([K_i]{q_i}-{F})

為超松馳因子，用以加速收斂藤韵，即當(dāng)我們有一個(gè)近似解{q_i}時(shí)虐沥，可用截?cái)嗟碾A泰勒級數(shù)得到一個(gè)改進(jìn)的解：

上式左邊稱為雅可比矩陣，右邊第一項(xiàng)為載荷位移空間的切線剛度泽艘，它是對稱的欲险，所以有：

[Δq_i]=-[K_i]^-1_T（[P（q_i）]-[F]）          ( 4.3.12)

其中（）內(nèi)為第i 次迭代不平衡力。

二匹涮、線性搜索加速

在求解方程（4.3.8)時(shí)天试，，尋求一個(gè)n 階矢量{q } 然低，實(shí)際上是在n 維空間找到一個(gè)方向和步長來滿足該方程喜每。對于非線性方程組，要經(jīng)過多次迭代拘挖，每次迭代均要找到一個(gè)方向和步長找鹅，逐步達(dá)到平衡解，為了加速迭代的收斂挑画，在由式（4.3.12）決定的力向上尋求一個(gè)優(yōu)化的步長轩从，即將｛△q｝乘以某一標(biāo)量η而使迭代加快。決定η 的原則是使能量增量φ最小化猎肄，即：

實(shí)際上直接按上式尋找η很費(fèi)事融沟，每尋找一個(gè)｛△q｝，必須解一次方程（4.3.10）所以又有近似方法更簡便欠住，當(dāng)不等式

|△{△q_i+1}^T{△F(q_i+△q_i+1)}|≤α|{△q_i+1}^T{△F(q_i)}|          (4.3.15)

成立時(shí)浮烫，即可得到滿意的收斂率，其中α是收斂容差揉民，一般在0.5-0.9之間枚鸭，如上式不成立，則使用線性搜索以改善收斂速度癣臭。

|△{△q_i+1}^T{△F(q_i+η△q_i+1)}|≤α|{△q_i+1}^T{△F(q_i)}|          (4.3.16)

可用線性插值尋找η饵较。

三、收斂準(zhǔn)則

運(yùn)用迭代法存在兩次迭代間滿足什么樣的準(zhǔn)則可以終止本次迭代問題，目前有三種收斂準(zhǔn)則循诉。

（一）位移準(zhǔn)則

||△q_i+1||＜=α_D||q_i+q_i+1||          (4.3.17)

其中α_D為位移收斂容差横辆，一般取0.1%--0.5%

取得是歐幾里德范數(shù)

（二）不平衡準(zhǔn)則

||△F_i||＜=α_D||F||

（三）能量準(zhǔn)則

{△q_i}^T({F}{P_i})＜=α_E(U_i+T_i)

即把每次迭代時(shí)內(nèi)能的增量（也就是不平衡力在位移增量上所做的功）同當(dāng)前的總能量相比較。

其中茄猫，U_i為勢能狈蚤，T_i為動能

α_E是預(yù)定的能量容差。

單純使用位移準(zhǔn)則或不平衡準(zhǔn)則不很理想划纽，有些情況不會出現(xiàn)較大偏差脆侮，能量準(zhǔn)則同時(shí)控制位移和力，由此達(dá)到平衡勇劣，是本文所采用的方法靖避。

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