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二）摩擦滑移接觸下的接觸勢(shì)

與二維情況相同渤弛，此時(shí)被動(dòng)接觸面上的實(shí)際接觸點(diǎn)p 的相對(duì)位置在不同迭代時(shí)是移動(dòng)的穿汽，即i+1時(shí)的α,β與i時(shí)的相比較有一增量的碗淌。為簡(jiǎn)化方程和對(duì)稱的目的艰捶。建立Πc時(shí)忽略i+1時(shí)的相對(duì)小量△α，△β，△γ，

對(duì)于磨擦滑移接觸，接觸面變形一致條件是在主動(dòng)接觸節(jié)點(diǎn)k處沿被動(dòng)表面法線方向變形一致纠惧，則得

式中n_j表示與k主動(dòng)接觸節(jié)點(diǎn)相接觸的被動(dòng)接觸面第j個(gè)單元的單位法線矢量將上式代入（4.1.9) 卿截，并利用下式

三、接觸控制方程

將式（4.1.19）（4.1.21）代入式（4.1.10 ) 赛虽，通過有限元常用的推導(dǎo)過程可得帶有接觸分析的最后控制方程

方程總維數(shù)應(yīng)為各接觸體位移自由度數(shù)加上主動(dòng)體接觸點(diǎn)獨(dú)立接觸力數(shù)拨蓖，當(dāng)該點(diǎn)為粘式接觸時(shí)，一個(gè)主動(dòng)體接觸點(diǎn)的接觸力數(shù)與位移自由度數(shù)一致刺泌，當(dāng)為滑移接觸時(shí)照旺，一個(gè)主動(dòng)體接觸點(diǎn)僅有一個(gè)未知接觸力。

其中對(duì)粘式接觸男枝，一個(gè)主動(dòng)接觸點(diǎn)k:

[I]是3*3階單位矩陣酝浦，第i+1步求解矢量為：

2.滑移接觸，對(duì)一個(gè)主動(dòng)接觸點(diǎn)K：

求解矢量

[△q⁽ⁱ⁺¹⁾△λ⁽ⁱ⁺¹⁾]_1×18=[{ △q_k⁽ⁱ⁺¹⁾}^T{△q_A⁽ⁱ⁺¹⁾}{ △q_B⁽ⁱ⁺¹⁾}{ △q_C⁽ⁱ⁺¹⁾}{ △q_D⁽ⁱ⁺¹⁾}^T{△λ_k⁽ⁱ⁺¹⁾}] (4.1.29)

基中λ_l, △λ_l分別為沿接觸面法線方向的接觸力及其增量场刑。

4.1.3 接觸條件的判斷般此、修正

由接觸控制方程（4.1.22）可解得i+1步接觸力與各節(jié)點(diǎn)上位移，此時(shí)必須判斷各節(jié)點(diǎn)處于哪種接觸狀態(tài)牵现，如前后兩步接觸狀態(tài)不同铐懊，則要修正i+1 步的接觸條件。即以（4.1.22）式求得接觸節(jié)點(diǎn)力后瞎疼，按插值函數(shù)求得等價(jià)的接觸單元分布力科乎，進(jìn)而求出接觸單元的合力以判斷接觸狀態(tài)，再以接觸面上一節(jié)點(diǎn)周圍各單元接觸情況判斷該節(jié)點(diǎn)接觸狀態(tài)贼急，據(jù)此來修改控制方程茅茂，進(jìn)行新的迭代，直到收斂太抓。

對(duì)于主動(dòng)接觸面上第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的接觸力增量可由節(jié)點(diǎn)平衡條件求出

{△R_k⁽ⁱ⁾}=[M]{q_k⁽ⁱ⁾}+[D]{q⁽ⁱ⁾}-{F_K}-{T_K}+(P_K⁽ⁱ⁾) (4.1.30)

所有主動(dòng)體上接觸節(jié)點(diǎn)的接觸力總矢量為

{△R⁽ⁱ⁾}= （4.1.31）