2.3.1 方程數(shù)值解法
采用經(jīng)典的四階Runge-Kutta法或四階的Runge-Kutta-Gill法求方程組的數(shù)值解，即可求得齒輪的扭轉(zhuǎn)振動時程響應才昔。為了保證求解收斂奢讨，求解過程中應采用變步長迭代。其計算公式如下：
1.迭代初始值的選取：
有三種方式：
（1）
=
=
=
=0，即
=
=
=
=0
這種取值方法對求瞬態(tài)應較為有利，但計算時間較長時也可求得穩(wěn)態(tài)響應珠校；
（2）和的值根據(jù)額定扭矩下求得齒輪扭轉(zhuǎn)角幸园，和=0的值取額定旋轉(zhuǎn)角速度，迭代時間很長才能求得穩(wěn)態(tài)響應络蟋；
（3）和的值根據(jù)額定扭矩下求得齒輪扭轉(zhuǎn)角谐绽，和=0，這種方法可在較短的時間內(nèi)求得穩(wěn)態(tài)響應络跷。
2.幅值譜計算
在求得了齒輪的時程響應后绑僵，經(jīng)過FFT變換可求得齒輪相對振動的幅值譜。幅值譜計算公式：
3.數(shù)值算例
以直齒圓柱齒輪為例（斜齒圓柱齒輪應把齒數(shù)Z換成當量齒數(shù)ZV）页本，計算齒輪齒側(cè)間隙變化對齒輪振動故障頻率成份的影響以及齒輪工作載荷及轉(zhuǎn)速的對齒輪振動故障頻率成份的影響狼隶。取零初始條件計算。
4.齒輪具體參數(shù)如下：
模數(shù) m=3mm
齒數(shù) Z1=23壮才，Z2=45
分度圓半徑 r1=34.5mm赞约，r2=67.5mm
基圓半徑 rb1=32.4mm，rb2=63.4mm
扭矩 T1=63.47Nm口箭，T2=124.57Nm
重合度 ε=1.677
齒寬 b=20mm
嚙合剛度諧波項： K0=5.6157×108N/m固弥，K1=1.8107×108N/m，K2=0.9558×108 N/m念秧，
K3=0.0691×108 N/m
齒輪當量質(zhì)量 m1=0.293kg, m2=1.216kg
阻尼系數(shù) C=3275
齒輪轉(zhuǎn)動慣量 JD1=0.000307945kgm2淤井，JD2=0.004888484kgm2
電動機轉(zhuǎn)速 n=960rpm
齒側(cè)間隙 0～0.3mm
2.3.2 考慮齒輪齒側(cè)間隙的振動頻譜特征
軸承對箱體動態(tài)激勵力和齒輪相對振動位移X=（rb1tgθ1-rb2tgθ2）有相對振動速度
（=rb1sce2θ1
1- rb2sec2θ22）有關，文中只列出的計算結(jié)果摊趾，圖2-3～圖2-13為各種工況的齒輪故障振動分析币狠，其中包括齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖、齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖和相平面圖砾层。
(l）齒輪工作轉(zhuǎn)速一定時漩绵，齒側(cè)間隙的變化對齒輪故障振動頻率的影響：
圖2-3是工況為：齒輪嚙合頻率為5888Hz、齒側(cè)間隙b=0齒輪故障振動分析肛炮，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖止吐，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出侨糟，當齒側(cè)間隙為0時碍扔，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh。的1秕重、2不同、3倍。相平面圖也穩(wěn)定于一個橢園極限環(huán)（見（c）圖）专运。
圖2-4是工況為：齒輪嚙合頻率為5888Hz酵吴、但齒側(cè)間隙b＝0.1mm=
Sn。（齒厚）齒輪故障振動分析站绑，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖焦莉，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出季佣，當齒側(cè)間隙增加到O.lmm時份帮，此時振動故障頻率仍為齒輪嚙合頻率fmeh的1、2溪茶、3倍手财。相平面圖也穩(wěn)定于一個封閉曲線（見（c）圖）。
圖2-5是工況為：齒輪嚙合頻率仍為5888Hz徊极、但齒側(cè)間隙增加到b=0.15mm=
Sn （齒厚）齒輪故障振動分析徐扯，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖狡秋。從圖上可看出苫馏，當齒側(cè)間隙繼續(xù)增加到0.15mm時，齒輪輪齒相對振動速度波形有較大的變化胜嗓，此時振動故障頻率成份發(fā)生了改變高职，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1/3、2/3辞州、3/3怔锌、…倍。極限環(huán)經(jīng)過反復振蕩后也穩(wěn)定于一個封閉曲線（見（c）圖）变过。
圖2-6對應工況為：齒輪嚙合頻率仍為5888Hz埃元、但齒側(cè)間隙增加到b=0.20mm
Sn（齒厚）齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖媚狰，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖岛杀。從圖上可看出，當齒側(cè)間隙為0.20mm時哈雏，齒輪輪齒相對振動速度波形也有較大的變化楞件，振動速度幅值較前面增加了，此時振動故障頻率成份較復雜裳瘪，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1/6土浸、2/6、3/6熟央、…倍交豪。相平面圖趨向于一混沌狀態(tài)邊緣（見（c）圖）。
圖2-7是當齒輪嚙合頻率仍為5888Hz冗宠、但齒側(cè)間隙增加到b=0.25mm=
Sn（齒厚）時善占，齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖（（a）圖）和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖（(b）圖）。從（b）圖上可看出抄蔬，當齒側(cè)間隙增加到0.25mm時遮英，此時振動故障頻率成份又發(fā)生了改變焊槐，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的l/12、2/12厅瘩、3/12斗液、…倍。
圖2-8中紊尺，(a）圖和（b）圖分別是當齒輪嚙合頻率仍為5888Hz彰晌、但齒側(cè)間隙增加到b=0.3Omm
Sn（齒厚）時，齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖达吞。從（b）圖上可看出张弛，當齒側(cè)間隙為0.30mm時，此時振動故障頻率成份也發(fā)生了改變酪劫，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1/5吞鸭、2/5、3/5覆糟、…倍瞒大。
總之，齒側(cè)間隙的變化對齒輪故障振動頻率有很大的影響搪桂。
(2）工作轉(zhuǎn)速對齒輪振動故障頻率的影響（此時設齒側(cè)間隙b=0.2mm):
圖2-9是當齒輪嚙合頻率為1300Hz透敌、齒側(cè)間隙b=0.2mm時，齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖（(a）圖）和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖（(b）圖）踢械。從（b）圖上可看出酗电，當齒側(cè)間隙為0.2mm時，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1内列、2撵术、3倍，分數(shù)諧波不明顯话瞧。
圖2-10中邪盼，(a）圖和（b）圖分別是當齒輪嚙合頻率增加到4000Hz、齒側(cè)間隙增加到b=0.2mm時齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖鹅媒。從（b）圖上可看出梗擅，此時振動故障頻率仍為齒輪嚙合頻率fmeh的1、2矛郁、3倍意苞，分數(shù)諧波也不明顯，但2fmeh的幅值比1fmeh的大蒜座。
圖2-11中美域，(a）圖和（b）圖分別是當齒輪嚙合頻率為5000Hz、齒側(cè)間隙b=0.2mm時齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從（b）圖上可看出茧纵，此時振動故障頻率發(fā)生了改變杭厘，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1/13、2/13郭销、3/13倍笙寻，明顯出現(xiàn)分數(shù)諧波。
(3）工作載荷幅值的變化對齒輪振動故障頻率的影響：
圖2-4（b）是輕載時（小的齒側(cè)間隙）齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖骂铁。從圖上可看出，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1罩抗、2拉庵、3倍，無分數(shù)諧波成份出現(xiàn)套蒂。
圖2-12是中載钞支、齒側(cè)間隙增大時齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出操刀，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的1/6烁挟、2/6、3/6骨坑、…倍撼嗓，分數(shù)諧波成份明顯。
圖2-13是更大的載荷（齒側(cè)間隙保持不變）時齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖欢唾。從圖上可看出且警，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率fmeh的l/4、2/4缅含、3/4阿钞、…倍，分數(shù)諧波成份非常明顯脓擅∑牛可看出非線性時變系統(tǒng)與線性時變系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的齒輪振動故障頻率有很大的不同。
2.4 考慮齒輪偏心的振動頻譜特征
當只考慮齒輪扭轉(zhuǎn)振動而不考慮齒輪及軸的橫向振動時嚣僚，以往研究都沒有考慮到齒輪偏心質(zhì)量對齒輪扭轉(zhuǎn)振動的影響胀蹭，實際上這個影響是存在的。不考慮齒側(cè)間隙時甫沉，Pn
瘸ァ（2-2）式，代入式（2-13）可得單級齒輪系統(tǒng)帶偏心質(zhì)量的振動微分方程：
由于θ瞻聪，标霎，
前面的系數(shù)和時變剛度K(t）及θ，椎崎，有關铡说，不是常數(shù)畸裳，故方程組（2-14)也是一個非線性時變方程組。
采用變步長R-K方法解方程組（2-20）淳地，得到齒輪相對振動位移怖糊、速度時程響應，如對這時域信號進行FFT變換颇象，就可得到幅值譜伍伤。圖2-14(a）、2-14(b）分別是考慮齒輪偏心與不考慮齒輪偏心的齒輪振動位移遣钳、速度比較圖扰魂。從圖上可看出，考慮齒輪偏心與不考慮齒輪偏心在齒輪振動位移蕴茴、速度的幅值上是有差別的劝评，前者比后者在最大幅值處大5%左右；兩者在振動位移倦淀、速度的相位上無差別蒋畜。圖2-15(a）、圖2-15(b）是齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖撞叽。從圖上可看出姻成，此時振動故障頻率發(fā)生了改變，振動故障頻率除了齒輪嚙合頻率fmeh的1劣搪、2惕仪、3倍外，還有齒輪所在軸的軸頻洒已。
根據(jù)前面的分析結(jié)果界贮，我們可認為在分析齒輪的扭轉(zhuǎn)振動故障頻率時，由于齒輪輪齒的動力藕合受贫，必須考慮齒輪的偏心質(zhì)量的影響驾萄。
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