第2章 齒輪故障振動的研究
齒輪是機械傳動系統(tǒng)的主要部件葛窜，它已被廣泛地應用在旋轉機械及動力傳輸裝置中注竿。齒輪在進行嚙合傳動時压状，由于外載荷變化、齒輪加工誤差甫窟、齒輪嚙合剛度的時變性及嚙合沖擊等因素的影響密浑，齒輪將產生振動。齒輪在振動時構成一個線性時變或非線性時變系統(tǒng)粗井。齒輪在傳動過程中秤暮，隨著齒面磨損的擴展，齒輪的齒形誤差趁吭、基節(jié)誤差和齒側間隙也將增加度限。齒輪齒側間隙對齒輪振動特性影響的研究，國外起始于1967年K Nakamura的研究怨拍，主要利用數(shù)值仿真從時域分析研究了齒輪系統(tǒng)的振動特性。近年來國外A Kahlarman等學者從頻域上研究了一定齒側間隙對齒輪幅頻特性的影響蛆删，并從實驗上驗證了當存在齒輪側隙時灰蒋，一個齒輪-傳動軸-支撐軸承系統(tǒng)會產生亞諧和超諧共振。本章在建立齒輪振動微分方程的基礎上捅悦，用變步長Runge-Kutta法求出了存在間隙時齒輪振動的時程響應的數(shù)值解萍捌，并用FFT方法求出時程響應的幅值譜丈揖，對在非共振情況下齒輪側隙和載荷的變化對齒輪振動頻率的影響進行了研究。研究結果表明逗耕，齒側間隙的變化對齒輪的振動故障頻率成份有很大的影響旁咙；齒側間隙的值一定時，如果齒輪的工作轉速和工作載荷發(fā)生改變時摘肤，齒輪的振動故障頻率成份也有改變椿疗。該結果對齒輪的故障診斷和齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)設計有重要的意義。
此外糠悼，本章還對齒輪偏心質量對齒輪扭轉振動的影響進行了分析研究届榄，并分析了頻譜特征。
2.1 齒輪振動力學模型及嚙合力分析
設有一對齒輪傳動倔喂，齒輪1為主動齒輪铝条，齒輪2為從動齒輪，它們分別有一偏心質量ml和m2席噩，振動力學模型見圖2-l班缰。設主動齒輪的扭轉振動角位移、角速度悼枢、角加速度和旋轉角速度分別為
埠忘、
、
和ω1萧芙，從動齒輪的扭轉振動角位移给梅、角速度、角加速度和旋轉角速度分別為
双揪、
拯羽、
和ω2，則有ω1=iω2(i為齒輪傳動比）链愉。
為了研究問題的方便谐创，特作如下假設：
(l）齒輪的支撐軸又短又粗，近似為剛性軸拦吓，故不考慮其橫向振動及扭轉振動寸芦；
(2）滾動軸承剛度較大，作為剛性支撐處理并忽略軸及軸承的阻尼子敷。
作用在主婆仪、從動齒輪的力矩分析如下：
（1）作用在主動齒輪上的驅動力矩T1（t）是常數(shù)，即T1（t）=C任团；而作用在從動齒輪上的工作阻力矩T2（t）可看作一個恒量Tm與幅值為TaT簡弦變量之和：
T2（t）=Tm+TaTsin（ωTt+фT） （2-1）
式中ωT筑落、фT-分別為從動齒輪上的工作阻力矩T2（t）變化圓頻率和初始相位角。
圖2-1中穷抹，rb1——主動齒輪基圓半徑摸悲；rb2——從動齒輪基圓半徑梳附；K（t）——齒輪嚙合剛度；e1——主動齒輪偏心距述雾；e2——從動齒輪偏心距街州；β1——主動齒輪不平衡質量的初始角度；β2——從動齒輪不平衡質量的初始角度玻孟；δ（t）——齒輪的綜合誤差唆缴；JD1——主動齒輪轉動慣量；JD2——從動齒輪轉動慣量取募；C（t）——齒輪阻尼系數(shù)琐谤；b——齒側間隙；n-n——齒輪嚙合線方向玩敏。
（2）作用在主斗忌、從動齒輪間的動態(tài)嚙合力及嚙合力矩
i）當不考慮齒側間隙時，動態(tài)嚙合力：
Pn=K（t）[X-δ（t）] （2-2）
式中X=rb1tgθ1-rb2tgθ2為主旺聚、從動齒輪間的相對振動位移织阳；K（t）為齒輪嚙合剛度，近似視為矩形波砰粹，可展為富氏級數(shù)：
式中：ε——重合度唧躲；ωmeh——齒輪嚙合頻率；Kn——齒輪剛度諧波項敢俭；K1——單對齒嚙合剛度乱孩；K2——兩對齒嚙合剛度；Ψn——齒輪剛度諧波項相位纽宇。
一對齒輪的綜合誤差δ（t）也可展為富氏級數(shù)：
式中：δn——齒輪誤差諧波系數(shù)菲组；
——齒輪誤差諧波項相比；
嚙合力矩Pnrbi （i=1魁嚼，2）
ii）當考慮齒側間隙時庭匆，動態(tài)嚙合力：
Pn= K（t）f（rb1tgθ1- rb2tgθ2-δ（t））= K（t）f（t） （2-8）
其中f（t）為分段非線性函數(shù)，可表示為如下形式：
（3）阻尼力矩：
C（t）（
-
（t））rb1 （i=1舌肝，2）（不考慮齒側間隙） （2-10）
或C（t）f′（t）rb1 （i=1渗骆，2）（考慮齒側間隙） （2-11）
其中：齒輪阻尼系數(shù)C（t）=2
，mred——嚙合齒輪當量質量页更。阻尼比
根據(jù)圖2-2取值硝逐。阻尼系數(shù)C（t）也可根據(jù)下列公式取值：
式中：e——中間變量：V為齒面間相對滑動速度。
（4）由不平衡質量即偏心質量造成的附加力（嚙合力方向）：
2.2 齒輪振動動力學方程
根據(jù)上節(jié)單級齒輪系統(tǒng)的受力分析锹嫌，可得θ1农浓、θ2兩自由度主從動齒輪振動微分方程：
式中
。很明顯觅赊，由于θ右蕊，
，
前面的系數(shù)和時變剛度K（t）吮螺、非線性函數(shù)f（t）及θ饶囚，
有關，不是常數(shù)鸠补，故方程組（2-14）是一個非線性時方程組萝风。
2.3 方程數(shù)值解法及齒輪齒側間隙的振動頻譜特征
當不考慮偏心質量，而只考慮存在齒輪齒側間隙時紫岩，方程組（2-14）可化為：
由于上式是一個非線性時變方程組规惰，它的理論解無法得出，故采用數(shù)值解法求解泉蝌。為了便于計算歇万，將方程組（2-15）轉化到狀態(tài)空間中，將方程組表達成：
=fi（Z1勋陪，Z2贪磺，Z3，Z4）嘶逝，i=1易颊，2，3拄抄，4除搞，則原方程組可表達成：
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