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2.2.3  數(shù)值穩(wěn)定性分析

在顯式時(shí)間積分中，除非時(shí)間步長(zhǎng)選得足夠小掌呜，否則會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定性村围，從而使計(jì)算結(jié)果失去意義。盡管對(duì)于完全非線性問(wèn)題侦广，不能進(jìn)行穩(wěn)定性分析爵嗅，但是經(jīng)驗(yàn)表明線性分析也會(huì)給出有用的時(shí)間步長(zhǎng)估計(jì)慢睡。一般說(shuō)來(lái)枢泰，將線性穩(wěn)定的時(shí)間步長(zhǎng)減少10%到20%描融，可以克服非線性帶來(lái)的不穩(wěn)定性铝噩。

對(duì)于中心差分，線性分析表明時(shí)間步長(zhǎng)

其中窿克，是系統(tǒng)的最高頻率骏庸，是最高頻率下的臨界阻尼系數(shù)。

ω是下面問(wèn)題的特征值：

[K]{X}=ω²[M]{X}                    （2-44）

其中[K]是系統(tǒng)的剛度矩陣年叮，[M]是質(zhì)量矩陣具被。

在實(shí)際計(jì)算中，我們并不是直接計(jì)算系統(tǒng)的ω_max只损，而是計(jì)算單元的硬猫。在所有的單元的中選擇最大值作為ω_max。

對(duì)于板單元改执，有

其中，C_l是平面縱波波速橙缔，對(duì)四邊形板單元來(lái)說(shuō)拟国，L是短邊的長(zhǎng)度。

2.2.4  氣體壓力模式

1.3.3節(jié)提到了解耦算法中氣體壓力模式的廣泛應(yīng)用元渺。對(duì)于含裂紋擴(kuò)展的管道排卷，其內(nèi)部管壁受到的氣體壓力由兩種模式組成：裂紋前面氣體減壓傳播和裂紋后部的氣體壓力衰減。

Battelle的Maxey等人在實(shí)驗(yàn)中采用壓縮空氣勉溉、氮?dú)庖约凹淄楹�量高的天然氣觀察氣體的減壓行為径肖，發(fā)現(xiàn)理想氣體規(guī)律足以滿(mǎn)足這些氣體的狀態(tài)等式。假設(shè)氣體的膨脹過(guò)程是等熵過(guò)程肯锻，充滿(mǎn)氣體的管道突然發(fā)生開(kāi)裂伍愕，整個(gè)狀態(tài)中氣體成分混和均勻，則裂尖附近氣體局部壓力與裂紋擴(kuò)展速度有如下關(guān)系:

式中p_d為減壓后的壓力水平（MPa)户犯；p_i為開(kāi)裂前管內(nèi)壓力（MPa)蓉庆；v為裂紋擴(kuò)展速度（m/s)；v_a為初始?jí)毫�和溫度狀態(tài)下的聲速（m/s)糜透；為起始狀態(tài)下氣體的絕熱系數(shù)撤宽，C_P和C_v分別為定壓比熱和定容比熱。

從（2-46）式可以看出粤咪，當(dāng)裂紋在管道上擴(kuò)展時(shí)谚中，裂紋前面的氣體減壓傳播，其數(shù)值低于氣體初始?jí)毫χ祊₀寥枝，氣壓減少值主要取決于裂紋的擴(kuò)展速度宪塔，對(duì)于穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的長(zhǎng)裂紋，管道內(nèi)部氣體減壓趨于穩(wěn)定的數(shù)值脉顿。

當(dāng)裂紋沿管壁快速擴(kuò)展時(shí)蝌麸，裂紋后面的氣體逸出点寥，氣壓降低，但是與液體壓力不同的是来吩，該區(qū)域內(nèi)的氣體壓力并不是立即降為零值敢辩，而是穩(wěn)定地衰減至大氣壓力，并有一段明顯的衰減區(qū)弟疆。在這一衰減區(qū)內(nèi)戚长，氣體壓力仍然作用在已經(jīng)開(kāi)裂的管壁上，加速管壁的變形怠苔。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)給出的實(shí)際管道開(kāi)裂實(shí)驗(yàn)的結(jié)果同廉，發(fā)展了裂紋后面氣體壓力衰減模式，將氣壓的衰減表示成裂紋位置和初始?jí)毫Φ暮瘮?shù)义黑。常見(jiàn)的衰減模式有指數(shù)衰減的Fourier級(jí)數(shù)和拋物線衰減函數(shù)等防蚓。

更為簡(jiǎn)便的是圖2-5所示的氣體壓力衰減模式是線性衰減函數(shù)，圖中以裂紋擴(kuò)展方向z為橫軸慷递，壓力分布p為縱軸儒剧，其計(jì)算表達(dá)式為

P（z）=P₁（1-），z<L                    （2-47）

式中z是計(jì)算截面的位置祸芙，L是衰減長(zhǎng)度停唐。在計(jì)算中，L取1.5倍或2倍的管道外徑钱锉。

2.3  管道穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展問(wèn)題的數(shù)值模擬

本節(jié)著重介紹穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展條件下的開(kāi)裂管道計(jì)算結(jié)果时憾，力求從多個(gè)角度模擬管道變形的真實(shí)狀態(tài)，為建立止裂判據(jù)與后文的減速機(jī)理打下基礎(chǔ)诊捆。

2.3.1  計(jì)算模型與邊界條件

管道上的裂紋一般從起裂點(diǎn)同時(shí)向兩側(cè)擴(kuò)展鸽拱。因管道幾何形狀和載荷分布具有對(duì)稱(chēng)性，本文取一側(cè)管道的一半來(lái)分析和計(jì)算纸措，即四分之一模型棺克，如圖2-6所示。采用四節(jié)點(diǎn)板殼單元线定，沿管道軸向和環(huán)向分別劃分網(wǎng)格娜谊，在管道內(nèi)壁給出氣體壓力分布。

在對(duì)西氣東輸管道進(jìn)行計(jì)算時(shí)斤讥，采用的管道模型長(zhǎng)度L=37.5m纱皆，直徑D=1.016m，厚度h=0.0147m芭商，沿軸向劃分為250個(gè)單元派草，環(huán)向劃分為16個(gè)單元，共4000個(gè)單元，4267個(gè)節(jié)點(diǎn)近迁，每個(gè)四邊形單元軸向長(zhǎng)度0.15m艺普，環(huán)向長(zhǎng)度0.lm。下文如無(wú)特殊說(shuō)明鉴竭，則網(wǎng)格均按此劃分歧譬。

在圖2-7中，C點(diǎn)表示裂尖位置：裂紋沿LINE4擴(kuò)展搏存，在A测扼、B點(diǎn)和邊界LINEl、LINE2啡产、LINE3和LINE4上施加不同的邊界條件纲秫。I、Ⅱ和Ⅲ區(qū)代表卸載區(qū)肢有、減壓區(qū)和裂前區(qū)：其中单步，點(diǎn)A、B和邊界LINEl涣恤、LINE2份览、LINE3是約束邊界條件，C點(diǎn)和邊界LINE4為運(yùn)動(dòng)邊界條件诉德。I、Ⅱ及Ⅲ區(qū)隨時(shí)間而變化钢怪。

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性指定邊界條件如下：

B柱洽、F點(diǎn)是固定點(diǎn)；

C點(diǎn)隨時(shí)間而變化鲁修，AC是自由邊本谜；

邊界LINE1（包括A點(diǎn)）與LINE3上約束了z向的位移和繞x、y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)偎窘；

邊界LINE2上約束x乌助、y向的位移和繞x、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)陌知；

邊界LINE4上約束x向的位移和繞y他托、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

2.3.2  表征裂紋驅(qū)動(dòng)力的G與CTOA的計(jì)算

本節(jié)采用節(jié)點(diǎn)力釋放法計(jì)算裂紋驅(qū)動(dòng)力G仆葡。根據(jù)（2-38）式赏参，以鋼制管道為例，指定設(shè)計(jì)參數(shù)：直徑為0.72m沿盅，壁厚0.015m把篓，管長(zhǎng)取37.5m，壓力為0.30MPa,裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展速度為550m/s。圖2-8給出了程序計(jì)算的結(jié)果韧掩，反映了裂紋驅(qū)動(dòng)力與裂紋擴(kuò)展距離的變化關(guān)系紊浩。在這一計(jì)算中，裂紋后面壓力衰減長(zhǎng)度柒汉，即（2-47)式中的L绒催，取為2倍的直徑長(zhǎng)度。

如圖2-8否抛，隨著裂紋起裂后的迅速擴(kuò)展拦腌，裂紋驅(qū)動(dòng)力上升直至達(dá)到并保持在穩(wěn)定的數(shù)值，這一平臺(tái)值1.6KN/m就是裂紋穩(wěn)態(tài)（steady state）擴(kuò)展的驅(qū)動(dòng)力G言酪。裂紋尖端的移動(dòng)過(guò)程中岭限，G在該值附近有一些小的波動(dòng)，這是由于裂紋長(zhǎng)度的突然增加和位移約束的突然解除败饵，引起的有限元解的高頻振蕩酣器。振蕩的幅度與有限元單元網(wǎng)格的疏密和單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)力釋放的指定規(guī)律有關(guān)。

圖2-9表示了CTOA的計(jì)算方法熊过。由于在裂紋后方有很大的非線性變形吝重，計(jì)算中張開(kāi)位移用割線近似，采用8個(gè)單元的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算CTOA胖真。這一長(zhǎng)度經(jīng)過(guò)與細(xì)化后的網(wǎng)格結(jié)果比較沦匿，誤差在10%之內(nèi)。

2.4  管道穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展算例分析

如2.1.2節(jié)所述振峻，可在Kanninen（1980）按一維梁模型推導(dǎo)的輸氣管線裂紋擴(kuò)展極限速度（2-6a）式的基礎(chǔ)上臼疫，對(duì)高延性管道進(jìn)行修正。按照西氣東輸管道選用的設(shè)計(jì)參數(shù)扣孟，可得到大致的延生斷裂穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展速度烫堤，估算裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展達(dá)到該速度時(shí)的裂紋驅(qū)動(dòng)力G和CTOA。另外凤价，通過(guò)選用不同的設(shè)計(jì)參數(shù)鸽斟，可給出穩(wěn)態(tài)裂紋驅(qū)動(dòng)力隨內(nèi)壓、壁厚利诺、管徑以及徑厚比等參數(shù)變化的規(guī)律富蓄。

2.4.1  西氣東輸設(shè)計(jì)參數(shù)下的典型算例

在這一小節(jié)，我們研究的管道參數(shù)限于：管道長(zhǎng)度L=25m慢逾，直徑D=l.016m,內(nèi)壓10.OMPa格粪，厚度h=0.0147m。網(wǎng)格劃分比2.3.1節(jié)中的網(wǎng)格兩個(gè)方向各密一倍氛改，即：沿軸向劃分為500個(gè)單元帐萎，環(huán)向劃分為32個(gè)單元比伏，共16000個(gè)單元，16533個(gè)節(jié)點(diǎn)辐逝，每個(gè)四邊形單元軸向長(zhǎng)度0.05m吸畸，環(huán)向長(zhǎng)度0.05m。裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展速度按（2-6b）式黄惭，取為216m/s翁脓。軸向壓力衰減長(zhǎng)度取1.5倍直徑，即約1.5m祟俯。

首先觀察裂尖附近的MISES應(yīng)力分布漫北，如圖2-10。按以針狀鐵素體和塊狀鐵素體組織為主的X70鋼級(jí)管線鋼的平均屈服強(qiáng)度500～600MPa估算五妹，計(jì)算給出的裂尖前部塑性區(qū)長(zhǎng)度大約在3個(gè)單元長(zhǎng)度以?xún)?nèi)市贡，即0.15m左右。

圖2-11直觀地給出了內(nèi)壓10MPa辞皇，裂紋速度216m/s時(shí)一維管道氣體壓力模型（L=1.5D）下的管壁壓力沿軸向的分布切果。每條曲線的衰減起始點(diǎn)即為該時(shí)刻的裂尖位置。圖中裂尖壓力約為6.6MPa符焊。

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