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 兩種有非圓輪的行星傳動機構(gòu)的不同設(shè)計

6.1概述

單激波推桿減速器的激波器廓形一般使用偏心圓妖职，多激波推桿減速器的激波器廓形是非圓弧曲線冻绊。當去掉推桿，內(nèi)外滾子合而為一時泳隶，推桿減速器就變成了滾柱活齒減速器他幢，如圖6.1所示。因而可以把它們都看作是非圓行星傳動機構(gòu)灭大。這類活齒傳動機構(gòu)的瞬時傳動比是個常數(shù)订咆，如式（2.8）所示，這也是設(shè)計活齒傳動機構(gòu)必須遵循的準則柬泽。從后面的分析可知慎菲，這就決定了活齒傳動機構(gòu)各嚙合副的運動性質(zhì)都不可能是純滾動嫁蛇。因而要在推桿兩端加裝內(nèi)外滾子以增加滾動成份而減小滑動成份。對于滾柱活齒減速器來說露该，因為滾柱同時要與激波器睬棚、內(nèi)齒圈相接觸，所以一定有一面有滑動解幼。因而可以說活齒傳動是一種滑滾運動方式的非圓行星傳動抑党。由于運動副是滑滾運動，實際機構(gòu)不能使用輪齒進行傳動撵摆，而是靠相嚙合的兩個輪的光滑表面接觸底靠。
如果去掉瞬時傳動比為常數(shù)這個前提，根據(jù)運動副都作純滾動的運動方式特铝，可設(shè)計出純滾動的非圓行星齒輪傳動機構(gòu)（圖6.2）暑中。從后面的分析可知，這種機構(gòu)鲫剿，相鄰兩行星輪之間的中心角是變化的鳄逾，相鄰行星輪和太陽輪、內(nèi)齒圈之間所包容的面積也是變化的锭鸣，利用這一特性灌笙，可制造出低速大扭矩液壓馬達。

 

心角的變化規(guī)律進行了分析局限。

6.2節(jié)曲線之間的關(guān)系

設(shè)太陽輪節(jié)曲線方程為T₁= T₁（θ）炬山，行星輪節(jié)曲線是半徑為T₂的圓，根據(jù)機構(gòu)作純滾運動或瞬時傳動比為常數(shù)這兩種不同的設(shè)計原則册压，可設(shè)計出兩種不同的內(nèi)齒圈齒廓曲線。
6.2.1純滾動運動方式的節(jié)曲線關(guān)系

建立如圖6.3所示的坐標系赶匣，在起始位置捕诲，分別與太陽輪、行星輪以及內(nèi)齒圈固聯(lián)的三個動坐標系的極軸x₁ 卿怀、x₂卿裙、x₃在同一條直線上，且指向相同镣凯。圖6.3所示為太陽輪相對行星輪轉(zhuǎn)過了 角的情形外卷。設(shè)此時內(nèi)齒圈相對該行星輪轉(zhuǎn)過的角度為 ，根據(jù)三心定理痹筛，作平行平面運動的三個構(gòu)件的三個瞬心必然位于同一條直線上莺治，而純滾動副的接觸點就是它們的瞬心。因而太陽輪與行星輪節(jié)曲線的接觸點M₁帚稠，行星輪與內(nèi)齒圈節(jié)曲線的接觸點M₂以及傳動中心O₁這三個點位于同一條直線上谣旁。因為是純滾動，圖6.3中弧長 與 應(yīng)相等（在起始位置S₁與S₂重合）。由此可得圖6.3中 與θ₁的函數(shù)關(guān)系為榄审。

設(shè)μ為太陽輪節(jié)曲線在M₁點的切線正向與矢徑O₁M₁的夾角砌们，由微分幾何知：

將（6.5）式及（6.9）式聯(lián)立，便是內(nèi)齒圈節(jié)曲線的方程搁进。同理浪感，若已知內(nèi)齒圈節(jié)曲線方程，仿上可求得太陽輪節(jié)曲線饼问。

6.2.2按傳動比為定值的設(shè)計

如圖6.4所示影兽，設(shè)太陽輪相對行星輪從初始位置轉(zhuǎn)過 角時，內(nèi)齒圈相對該行星輪反向轉(zhuǎn)過的角度為 匆瓜。令 與 的比值為常數(shù)i₁₃电伐，這時上一節(jié)中弧長相等的特性已無法保證，因而接觸點M₁跪悼、M₂也不再是運動的瞬心秆杰，M₁、M₂及中心O₁不一定在同一條直線上蚊来。這就是滾柱活齒傳動的結(jié)構(gòu)形式蝠肤。設(shè)計方法與第二章類同。現(xiàn)簡要敘述如下：

曲線向徑與切線正方向的夾角μ以及工作角a₁的計算都與純滾動動方式下相同逢君，即：

若用l₁表示行星輪與太陽輪的中心距O₁O₂吝啰，則由圖6.4可得：

聯(lián)立（6.15）式及（6.18）式，便是內(nèi)齒圈的齒廓方程蒲妹。內(nèi)齒圈的齒廓曲線是行星輪節(jié)曲線的外包絡(luò)線驻丁。
從上述求內(nèi)齒圈齒廓方程的過程可以看出，由于規(guī)定了轉(zhuǎn)角 與 的比值為常數(shù)i₁₃块透，使得對于太陽輪的任一轉(zhuǎn)角 臊渴，相應(yīng)地有確定的值 = /i₁₃。同時圖6.4中行星輪工作角a₂也隨之由（6.12）式確定下來巍碍。因而M₁尸诽、M₂與O₁三點肯定不會始終保持在同一條直線上。其理由如下：
假設(shè)圖6.4中O₁盯另、M₁性含、M₂三點始終都能保持在同一直線上，則對于太陽輪轉(zhuǎn)角 鸳惯，圖6.4中的a₂可根據(jù)圖6.3中的行星輪轉(zhuǎn)角θ₂求得商蕴，由圖中幾何關(guān)系及（6.4)式應(yīng)有

                             a₂= -a₁-θ₂=π-2μ-a₁                        （6.19）

另一方面，由于 與 的比的比值為常數(shù)i₁₃芝发，a₂的值已由（6.12）式確定究恤。比較(6.19)式與（6.12）式可知俭令，只有在a₁=0且μ= 時，它們才是一致的部宿，由（6.10）式及（6.11）式知抄腔，只有在 時才有μ= ，且a₁=0理张，由于太陽輪的節(jié)曲線是周期性赫蛇，所以在一周內(nèi)只有2n₁個點（n_l是太陽輪節(jié)曲線的周期數(shù)）有 ，其余各點 都不為零拔馆，對于太陽輪的轉(zhuǎn)角 只要不是對應(yīng)于 茂萤，式（6.19）與式（6.12）是矛盾的，也就是說M₂點必然不會與M₁勇剃、O₁位于同一直線上泵躲。這說明當傳動比為常數(shù)時，行星輪與太陽輪好佃、行星輪與內(nèi)齒圈所組成的兩個嚙合副不可能都作純滾運動露俏，一定有一個嚙合副有滑動，因而活齒傳動都是滑滾運動毫胎。

6.3節(jié)曲線的封閉條件及等分

對于作純滾運動的非圓行星齒輪傳動機構(gòu)探娇，上面求得的節(jié)曲線關(guān)系只是一般的公式，要設(shè)計出實際的非圓行星齒輪傳動機構(gòu)還要受到許多限制茄焊。
6.3.1節(jié)曲線的封閉條件
為了能夠連續(xù)轉(zhuǎn)動撒沦，已知的太陽輪節(jié)曲線當然應(yīng)是連續(xù)而封閉的,T₁(θ₁）必須是θ₁的周期函數(shù)。設(shè)太陽輪一轉(zhuǎn)中的周期數(shù)是n₁茵冗，當太陽輪相對行星輪從θ₁= θ₁₀轉(zhuǎn)過一個周期時租藻，由于 ，所以由（6.2）式可知轉(zhuǎn)動前后在接觸點具有相同的μ值唉地。根據(jù)（6.4）式顿肺，設(shè)θ_1­­=θ₁₀時，行星輪的轉(zhuǎn)角有關(guān)系式

                                                        （6.20）

則當太陽輪相對行星輪轉(zhuǎn)過一個周期后渣蜗，由于μ值相同，行星輪轉(zhuǎn)角關(guān)系式為：

                                          （6.21）

上式中△θ₂及 分別為行星輪轉(zhuǎn)角θ₂及 在太陽輪從θ₁=θ₁₀轉(zhuǎn)過一個周期后的增量旷祸。由（6.20）式和（6.21）式可知在太陽輪轉(zhuǎn)過的任一周期中耕拷，行星輪轉(zhuǎn)角增量△θ₂與 相等，即：

                          △θ₂=                                     （6.22）

由此可得到結(jié)論：太陽輪節(jié)曲線在一個周期內(nèi)的弧長與內(nèi)齒圈節(jié)曲線在一個周期內(nèi)的弧長相等托享。若內(nèi)齒圈的周期數(shù)為n₂骚烧，則n₂應(yīng)大于n₁。為了減小行星輪尺寸闰围，應(yīng)取最小整數(shù)值n₁+1作為內(nèi)齒圈節(jié)曲線的周期數(shù)赃绊，從而可由（6.9）式得到內(nèi)齒圈節(jié)曲線的封閉條件為：

6.3.2節(jié)曲線上輪齒等分的限制

設(shè)齒輪的模數(shù)為m既峡，為了使太陽輪、行星輪及內(nèi)齒圈都有等分的輪齒碧查，它們的節(jié)曲線都必須是周節(jié)mπ的整數(shù)倍运敢。由上節(jié)知道，太陽輪節(jié)曲線與內(nèi)齒圈節(jié)曲線在一個周期內(nèi)的弧長相等舅尸，并且內(nèi)齒圈的周期數(shù)比太陽輪的周期數(shù)大1斯身，所以內(nèi)齒圈節(jié)曲線的周長是太陽輪節(jié)曲線周長的（n₁+1）/n₁倍。因此只要太陽輪節(jié)曲線在一個周期內(nèi)的弧長能夠被周節(jié)等分得鸳，就能保證內(nèi)齒圈的等分遍考。也就是說，設(shè)Z₁為太陽輪齒數(shù)扳引，則Z₁應(yīng)是n₁的整數(shù)倍橡宪，且太陽輪與內(nèi)齒圈的輪齒等分條件為：

由于每個周期的弧長都是相等的，太陽輪節(jié)曲線的總長等于n₁個周期的弧長之和蛙府，用n₁乘以（6.24）兩邊慷尸，可得等分條件的另一種表達形式：

對于節(jié)曲線為圓的行星輪，輪齒等分條件為：

             2T₂=mZ₂                                    （6.26）

上式中z₂為行星輪的齒數(shù)羹李，顯然內(nèi)齒圈齒數(shù)z₃為：

6.3.3不干涉條件
設(shè)計的非圓行星齒輪傳動機構(gòu)還應(yīng)保證太陽輪最大向徑處的齒頂與內(nèi)齒圈錄小向徑處的齒頂不發(fā)生相碰股航。若太陽輪節(jié)曲線在θ₁=0時向徑取得極小值，則內(nèi)齒圈節(jié)曲線向徑的極小值為T₁（0）+2T₂猖驹，對于關(guān)于極軸有對稱性的太陽輪節(jié)曲線翠节，在θ₁=π/n₁時有極大向徑，若齒頂高為h_a积仗，則不發(fā)生運動干涉的條件為：

                   2T₂+T₁（0）>T₁（ ）+2h_a                    （6.28）

6.4傳動特性分析

6.4.1太陽輪與行星輪的平均傳動比
固定內(nèi)齒圈疆拘，當太陽輪起點從初始位置開始轉(zhuǎn)動到與行星輪重新在初始位置接觸時，太陽輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)與行星輪公轉(zhuǎn)過的圈數(shù)之比 稱作太陽輪與行星輪的均傳動比寂曹。圖6.5(a）為初始位置哎迄，圖6.5(c）為太陽輪按順時針方向相對行星輪1轉(zhuǎn)過一個周期后的情形。此時內(nèi)齒圈相對該行星輪也應(yīng)轉(zhuǎn)過一個周期隆圆，即行星輪1從初始位置公轉(zhuǎn)過的角度為：

而太陽輪相對內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過的角度 為：

即太陽輪轉(zhuǎn)兩圈零一個周期漱挚，行星輪公轉(zhuǎn)一圈。

6.4.2行星輪的個數(shù)

設(shè)太陽輪起點從初始位置相對內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過一個周期渺氧，從圖6.5(a）轉(zhuǎn)到圖6.5(b）位置旨涝。從圖6.5(b）可知，此時在內(nèi)圈的初始位置S₃處可放入另一個行星輪侣背，稱它為2號行星輪白华。類似當太陽輪從初始位置相對內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過第二個周期，在S₃可放入第3號行星輪贩耐，太陽輪旋轉(zhuǎn)一圈弧腥，放入第n₁+1號行星輪锥酌，太陽輪轉(zhuǎn)兩圈，放入第2n_l+l號行星輪婚咱，當太陽輪轉(zhuǎn)兩圈零一個周期连载，恰好第1號行星輪回到S₃點。所以可安放的行星輪總數(shù)為2n₁+1個寥只。
6.4.3相鄰兩行星輪之間的中心角
設(shè)太陽輪起點從初始位置相對內(nèi)齒圈順時針轉(zhuǎn)過了 角劈咕，當 大于太陽輪一個周期（ ）時，第2號行星輪也相對內(nèi)齒圈極軸公轉(zhuǎn)過了一個角度（圖6. 5（C））冻找。令 柏困，則 表示此時太陽輪與2號行星輪的初始接觸點S₁₁相對內(nèi)齒圈初始位S₃轉(zhuǎn)過的角度。用 表示1號行星輪相對內(nèi)齒圈初始位S₃公轉(zhuǎn)過的角度帜蘑，由圖6.3可得：

根據(jù)（6.33）式清玉，可由任給的 確定出太陽輪起點S₁至1號行星輪與太陽輪節(jié)曲線的接觸點M₁所來的中心角θ₁，然后代入（6.30）式珍垦，可得l號行星輪中心O₂與內(nèi)齒圈初始件S₃所夾的中心角 ()惜施。用 代替（6.33）式中的 ，將解得的θ₁值代入（6.30）式图呢，便可得到第2號行星輪中心與內(nèi)齒圈S₃點所夾的中心角 ()条篷。兩行星輪之間的中心角 為：

                                                   （6.34）

可見兩行星輪所夾的中心角 是太陽輪相對內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)角 的函數(shù)，它隨著 值的不同而呈周期性的變化蛤织，并圍繞 瞬時傳動比i₁₂為：

i₁₂也是隨太陽輪轉(zhuǎn)角 變化的函數(shù)赴叹。由于太陽輪和內(nèi)齒圈都是非圓的，而相鄰兩行星輪之間的中心角又是變化的指蚜，因而太陽輪乞巧、內(nèi)齒圈與相鄰兩行星輪之間包含的面積也是變化的，正是利用這些特性摊鸡，可制造出低速大扭矩液壓馬達绽媒、空氣壓縮機等機器。

6.5設(shè)計步驟及計算實例

現(xiàn)以太陽輪是一個回轉(zhuǎn)中心在幾何中心的標準橢圓為例免猾，來說明純滾動非圓仃雖傳動非圓行星傳動機構(gòu)的設(shè)計方法步驟是辕。

給定齒輪模數(shù)m=2.5,n₁=2，內(nèi)齒圈周期數(shù)為3 猎提，設(shè)計步驟如下：

6.5.1確定齒數(shù)

太陽輪的齒數(shù)Z₁可根據(jù)所要求的太陽輪的大小來確定获三，它應(yīng)是n₁的整數(shù)倍。本例選z₁=42忧侧，由（6.27）式，內(nèi)齒圈齒數(shù)應(yīng)為z₃=63子钱。為了確定z₂的合適數(shù)值据篇，可以采用這樣的方法便晶，假想太陽輪和內(nèi)齒圈都退化成齒數(shù)為z₁及z₃的圓齒輪，則此時的行星輪半徑 應(yīng)為：

時常不是整數(shù)担泥，我們稱它為行星輪的參考齒數(shù)润跟。實際采用的太陽輪雖然和退化的圓齒輪具有相同的模數(shù)m和齒數(shù)z₁，但是它的形狀不是圓的谨斥，這就使得實際采用的行星輪齒數(shù)z₂應(yīng)比參考齒數(shù) 小鸡魁，太陽輪節(jié)曲線與圓相差越大，z₂應(yīng)比 小的越多蛾沪。為了減小輪齒干涉的可能生紫声，z₂要盡量接近 。本例選z₂=10拗炎，從而得T_2­=12.5mm京甫。

6.5.2確定太陽輪節(jié)曲線

所要求的橢圓型太陽輪節(jié)曲線方程可表示為：

上式中，a為橢圓的長軸半徑李根，b為橢圓的短軸半徑槽奕。由（6.25）式得輪齒等分條件為：

利用辛普生法計算數(shù)值積分，由（ 6.37）和（6.38）兩條件式組成的方程組可解算出參數(shù)a和b來房轿，結(jié)果是：

a=59.7616   mm                    b=44.6943    mm

取h_a=2.5粤攒，將T₁（0）=44.6943，T₁（ ）=59.7616囱持，T₂=12.5代入（6.28）式夯接，可知不會發(fā)運動干涉。

6.5.3求人齒圈節(jié)曲線

根據(jù)（6.5）式和（6.9）式洪唐，可得內(nèi)齒圈節(jié)曲線方程為：

節(jié)曲線形狀如圖6.6所示钻蹬。圖6.2為該輪系加上輪齒后的情形。按（6.34）式可算得相鄰兩行星輪之間的夾角隨 的變化規(guī)律凭需，其關(guān)系曲線如圖6.7所示问欠。由曲線圖可看出，當 時粒蜈，夾角 有最小值 顺献，夾角 的變化范圍是2.732°。

6.5.4機構(gòu)優(yōu)化

從以上設(shè)計過程可以看出枯怖，根據(jù)非圓太陽輪設(shè)計行星輪為圓的純滾動非圓行經(jīng)齒輪傳動機構(gòu)時灭西，并不是對任意指定的太陽輪節(jié)曲線都有解。當太陽輪節(jié)曲線的周期數(shù)n₁給定后掘楔，節(jié)曲線必須有兩個可調(diào)整的參數(shù)（例中的a和b）的要由節(jié)曲線的封閉條件及輪齒等分條件來確定弹爱。齒輪模數(shù)m和太陽輪齒數(shù)z₁是被預(yù)先指定了的。當各參數(shù)求出后骚美，要用不干涉條件（6.28）式進行校驗扬骑，若發(fā)生干涉座叙，應(yīng)調(diào)整z₁數(shù)值，重新計算太陽輪的可調(diào)整參數(shù)涎舞。
顯然契叔，當太陽輪與圓的差別越大時，越容易發(fā)生運動干涉栗怪。液壓馬達麸应、空氣壓繃機等機器正是利用了相鄰兩行星輪之間的中心角變化的特點，當太陽輪與圓的差別越大時娘瞻，相鄰兩行星輪之間夾角的變化范圍也越大损侄，這是液壓馬達等機構(gòu)所要求的。
令：

                                                                   （6.40）

反應(yīng)了非圓行星傳動機構(gòu)與圓行星傳動機構(gòu)的差別程度视搏，當 =0時审孽，非圓行星傳動機構(gòu)就變成了圓行星傳動機構(gòu)。 越小浑娜，越不容易發(fā)生運動干涉佑力， 越大，相鄰兩行星輪之間中心角變化的范圍也越大筋遭。表（6.1）給出了在齒輪模數(shù)m相同的情況下打颤，橢圓形太陽輪取不同的齒數(shù)z₁時，按上述設(shè)計步驟得到的結(jié)果漓滔。因為：

                                                       （6.41）

表6.1  橢圓太陽輪取不同齒數(shù)時的計算結(jié)果

所以當z₁不能被2n₁整除時编饺， 就不是整數(shù)。由（6.41）式和（6.40）式可得：

為了得到機構(gòu)不發(fā)生運動干涉時的最大 值响驴，將（6.42）式中的小于號換成等號透且，并將 代入，對于橢圓形太陽輪豁鲤，得到下面等式：

                          mz₂=a-b+2h_a                                （6.43）

從（6.37）秽誊、（6.38）、（6.43）三式所組成的方程組中跟斜，解出a低案、b及z₂，將齒數(shù)代入( 6.40)便得到臨近發(fā)生運動干涉時的 值绪论。因為z₂是整數(shù)辕憋，當m給定后，由上面三個式子所組成的方程組一般是無解的卷俱。若把m也作為一個參變數(shù)寒焚，這時方程有解。

在進行具體機構(gòu)的設(shè)計時，齒輪模數(shù)m都是指定的鞭玩。根據(jù)所要求設(shè)計的機構(gòu)體積的大小可事先指定一個太陽輪齒數(shù)z₁的取值范圍备秋，若以相鄰兩行星輪之間中心角變化的范圍最大為優(yōu)化設(shè)計目標，按上述設(shè)計方法羽抒，并加上不干涉條件的限制．則可在所規(guī)定的z₁取值范圍內(nèi)得到最佳結(jié)果。