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內(nèi)齒圈齒廓的加工及測(cè)量

4.1內(nèi)齒圈齒廓的范成加工
目前鼻蟆，在推桿減速器的批量生產(chǎn)中，其內(nèi)齒圈齒廓的加工采用的都是范成加工方法筏拢，加工的夾具及刀具的相對(duì)運(yùn)動(dòng)完全模擬減速器的運(yùn)動(dòng)。激波器的偏心距e由一個(gè)偏心軸的偏心距e來(lái)實(shí)現(xiàn)凑懂，激波器的半徑T_b與內(nèi)滾子半徑T_z之和由偏心軸的幾何中心至固定點(diǎn)的距離R來(lái)實(shí)現(xiàn)煤痕，傳動(dòng)比由掛輪的傳動(dòng)比來(lái)實(shí)現(xiàn)，如圖4.1所示接谨。

范成加工法具有快速摆碉、簡(jiǎn)易、經(jīng)濟(jì)的優(yōu)點(diǎn)脓豪，其加式裝置可作為附件加裝在現(xiàn)有的滾齒機(jī)上巷帝。缺點(diǎn)是刀具必須完全與推桿外滾子直徑相同，而且對(duì)于推桿減速器的每一和中不同規(guī)格都要更換工裝扫夜，不利于產(chǎn)品系列化生產(chǎn)楞泼。盡管加工裝置本身可以調(diào)整得很精確，但常因刀具的磨損笤闯、進(jìn)刀深度掌握不當(dāng)堕阔，以及刀具軸線沿內(nèi)齒圈徑向出現(xiàn)偏距等問(wèn)題給被加工的齒圈帶來(lái)很大誤差。

4.2內(nèi)齒圈齒廓的數(shù)控加工

內(nèi)齒圈齒廓可用數(shù)控銑進(jìn)行粗加工颗味，用數(shù)控磨進(jìn)行精加工超陆。本節(jié)主要討論在Y₅₄非圓摟控插齒機(jī)上的加工方法。

4.2.1Y₅₄數(shù)控插齒機(jī)加工齒廓曲線的原理

經(jīng)Y₅₄插齒機(jī)改造成的非圓數(shù)控加工機(jī)床鹃改，由X战架、C、D三軸聯(lián)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)給定曲線的數(shù)控加工定合，如圖4.2所示溶瞬，D軸是刀具的回轉(zhuǎn)中心軸，加工齒廓曲線時(shí)喂惜，采用圓形插刀鄙骏，插刀一邊繞D軸旋轉(zhuǎn)，一邊沿D軸作上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)服半。C 軸是工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸碗冈，被加工的工件加在工作臺(tái)上。沿X 軸的移動(dòng)保證了沿齒深方向的進(jìn)刀量。X軸始終在刀具回轉(zhuǎn)中心D軸及工作臺(tái)回轉(zhuǎn)中心C軸的連線上怪褐。這三個(gè)軸分別由被脈沖信號(hào)驅(qū)動(dòng)的三個(gè)不同步進(jìn)電機(jī)所帶動(dòng)溜勃。根據(jù)被加工齒廓曲線的方程式，根據(jù)被加工齒廓曲線的方程式蝠欲，可得出刀具中心軌跡方程廉丽，把它分解為沿X 軸方向的進(jìn)刀及繞工件C軸的旋轉(zhuǎn)兩個(gè)分量，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)齒廓的數(shù)控加工妻味。

4.2.2刀具中心的軌跡
由上面可知正压，用數(shù)控加工齒廓時(shí)，應(yīng)求出圓插刀中心的軌跡责球，它是被加工內(nèi)齒圈齒廓曲線的內(nèi)法向等距線焦履，如圖4.3所示。圓插刀的半徑可不等于實(shí)際推桿減速器中滾子的半徑雏逾，只要刀具半徑T_d小于內(nèi)齒圈齒廓在齒根部的最小曲率半徑嘉裤，在加工過(guò)程中不會(huì)發(fā)生切削干涉即可。對(duì)于激波器為偏心圓的推桿減速器栖博，根據(jù)（2. 35）式屑宠，可得不發(fā)生切削干涉的條件為：

其中參數(shù)l₁、a₂與 關(guān)系為式（2.36）仇让、（2.37）侨把、（2.38）。

根據(jù)式（4.2）可算出數(shù)控插齒機(jī)所需的調(diào)整數(shù)據(jù)妹孙。

4.2.3數(shù)控編程
Y₅₄數(shù)控插齒機(jī)的數(shù)控系統(tǒng)經(jīng)改進(jìn)后秋柄，可直接與普通微機(jī)進(jìn)行連接，通過(guò)微機(jī)上的一塊接口電路板直接控制步進(jìn)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)電路肢姜。因而主渤，數(shù)控驅(qū)動(dòng)程序可直接采用微機(jī)上的高級(jí)語(yǔ)言編制，其功能是將由刀具中心軌跡所得到的離散數(shù)據(jù)驰闺，經(jīng)過(guò)一定的插補(bǔ)運(yùn)算瘪叉，變?yōu)轵?qū)動(dòng)相應(yīng)步進(jìn)電機(jī)所需的脈沖數(shù)字信號(hào)，從而完成要求的加工任務(wù)呕豪。
提供給數(shù)控驅(qū)動(dòng)程序的應(yīng)是一組分別向x軸药扒、C軸、D軸發(fā)出的脈沖數(shù)n_z糯档、n_c隙殴、n_D，由數(shù)控驅(qū)動(dòng)程序?qū)�這組脈沖進(jìn)行線性插補(bǔ)運(yùn)算蜡幼，從而把輸入廓形信息轉(zhuǎn)化成步進(jìn)電機(jī)運(yùn)動(dòng)的脈沖串掷栋。其脈沖頻率由所要求的進(jìn)給速度決定端制。
線性插補(bǔ)采用數(shù)值積分法（DDA)，其特點(diǎn)是運(yùn)行速度快邦鲫，脈沖分配均勻灸叼，易于實(shí)現(xiàn)多軸運(yùn)動(dòng)及繪制各種函數(shù)曲線。具體實(shí)現(xiàn)方法是：
選擇位移量最大的軸為主導(dǎo)軸庆捺，即選取n_z古今、n_c、n_D三個(gè)數(shù)中的最大值作為脈沖溢出基數(shù)n_m滔以，將n_x沧卢、n_c、n_D分別向各自累加器中累加醉者，每累加一次判斷各累加和是否大于溢出基值n_m，若大于披诗，則給該軸發(fā)一個(gè)脈沖撬即，同時(shí)從該累加器中減去溢出基值n_m，這樣主導(dǎo)軸每次迭代時(shí)必有一個(gè)脈沖輸出呈队，其它兩軸只有在滿足條件時(shí)才有脈沖輸出剥槐，經(jīng)n_m次迭代后，各軸同時(shí)達(dá)到終點(diǎn)（向各軸發(fā)完各自的脈沖數(shù)）宪摧。

前面已求出加工內(nèi)齒圈齒廓時(shí)刀具中心的軌跡方程助潭，為了得到數(shù)控驅(qū)動(dòng)程序所需的脈沖數(shù)據(jù)，還應(yīng)將其曲線分成若干段连欲，再求出每段中應(yīng)分別向三個(gè)軸所發(fā)的脈沖數(shù)打且。
為此，首先應(yīng)將式（4.2）化為極坐標(biāo)形式

由于實(shí)際加工中是內(nèi)齒圈繞其身中心軸（工作臺(tái)C軸）旋轉(zhuǎn)椅损，而不是刀具繞C軸旋轉(zhuǎn)帘战，恨具只是沿x軸來(lái)回移動(dòng)。因而為形成式（4.3）所示的曲線吉挎，極徑P_d的變化由刀具沿x軸的變化來(lái)實(shí)現(xiàn)斑永，極角θ_d的變化由內(nèi)齒圈繞C軸的旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

在曲線上取若干點(diǎn)氨固，對(duì)相鄰兩點(diǎn)間的每一區(qū)段蛀埂，極徑和極角都有相應(yīng)的增量△P_d及△θ_d轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的脈沖數(shù)n_x及n_c。對(duì)于y₅₄數(shù)控插齒機(jī)解瀑，每個(gè)脈沖在x軸方向的進(jìn)給量是0.004mm盾轮，在C軸及D上轉(zhuǎn)動(dòng)的角度都是15"，因而：

上式中假定θ_d的單位是弧度蛛蒙。
D軸的轉(zhuǎn)動(dòng)只是為了使刀具磨損比較均勻肺素，并不是形成內(nèi)齒圈齒廓所必須的運(yùn)動(dòng)恨锚。
具體編程時(shí)還應(yīng)注意脈沖的正負(fù)是否和所需的運(yùn)轉(zhuǎn)方向一致以及加工時(shí)刀具的初始位置。
4.2.4機(jī)床調(diào)整
機(jī)床調(diào)整的適當(dāng)與否倍靡，直接影響到被加工齒圈的質(zhì)量猴伶。加工內(nèi)齒圈齒廓時(shí)數(shù)控插齒機(jī)床的調(diào)整方法與在普通Y₅₄插齒機(jī)上加工內(nèi)齒輪的調(diào)整方法大致相同核无。特別注意以下兩點(diǎn)：
(1）內(nèi)齒圈齒坯的安裝與找正
內(nèi)齒圈齒廓的數(shù)控加工姨蝴，是在齒圈外徑及兩端面都精加工后進(jìn)行的锌褒，因此防养，應(yīng)以端面及外徑作為定位基準(zhǔn)芬莫。其夾具可做成螺釘壓板結(jié)構(gòu)露龙，如圖4.4所示觅玻。夾具內(nèi)徑應(yīng)盡量接近齒圈外徑垢箕，用千分表以?shī)A具內(nèi)圓為基準(zhǔn)找正工作臺(tái)軸心站辉。

內(nèi)齒圈在推桿減速器的機(jī)座中是靠定位健來(lái)固定的呢撞。因而其外徑形有定位槽，裝配時(shí)兩個(gè)齒圈的定位槽應(yīng)分別位于機(jī)座的左右兩側(cè)饰剥。為了使同一推桿減速器中兩個(gè)齒廓形狀完全相同的內(nèi)齒圈能夠互成180°布置殊霞，在齒廓加工前，先在齒圈外徑上開(kāi)槽寺癌，數(shù)控加工以此鍵槽為刀具定位基準(zhǔn)雌褥。如圖4.4所示，為了便于找正绅荒，在制作夾具時(shí)相應(yīng)定位鍵槽制作一個(gè)定位基準(zhǔn)平面知祠，通過(guò)千分表很容易使其與x軸平行。
(2）對(duì)刀
在數(shù)控加工過(guò)程中肝羊，刀具中心距（刀具中心離工件回轉(zhuǎn)中心的距離）反應(yīng)的就是由式（4.3）所表示曲線極徑成甫，而在對(duì)刀時(shí)，初始中心距與曲線初始極徑必須留有一定量的差距（一般為10mm～30mm)子特，這段徑向差距留作數(shù)控加工一開(kāi)始由刀具徑向進(jìn)給來(lái)完成斟漏。因而所留差距量應(yīng)與數(shù)控程序中的相應(yīng)數(shù)據(jù)相符合。

徑向進(jìn)給量要掌握適當(dāng)蛀植，不能太大存研。齒坯一般為圓環(huán)形，為了不致使進(jìn)給量過(guò)大填要，可分若干次進(jìn)行加工苦厅，每次都可使用同一個(gè)數(shù)據(jù)文件，只需在每次對(duì)刀時(shí)关串，使刀具初始中心距作相應(yīng)的增加拧廊。
與范成法相比，數(shù)控加工的優(yōu)點(diǎn)是精度高晋修，而且能做到使用同一把刀具加工不同規(guī)格的內(nèi)齒圈齒廓吧碾，并能對(duì)刀具磨損進(jìn)行補(bǔ)償凰盔。其缺點(diǎn)是對(duì)于進(jìn)行熱處理后的精加工必須使用數(shù)控磨床。

4.3內(nèi)齒圈齒廓的修形

4.3.1內(nèi)齒圈齒廓修形的目標(biāo)

由方程式（2.21）表示的內(nèi)齒圈齒廓是無(wú)側(cè)隙的倦春，即圓周上所有的推桿户敬，不論是否處于工作狀態(tài)，都是和內(nèi)齒圈齒廓相接觸的睁本。為了使推桿減速器便于裝拆和保證良好的潤(rùn)滑尿庐，實(shí)際的推桿減速器不能采用這種無(wú)隙嚙合的理論齒廓，而應(yīng)采用有隙嚙合的修形齒廓呢堰。修形齒廓就是有意識(shí)地將理論齒廓進(jìn)行微量修削后所得到的齒廓抄瑟。對(duì)齒廓修形除了給嚙合傳動(dòng)留有一定量的間隙外，更重要的是使傳動(dòng)性能得到改善枉疼。所以修形齒廓的形狀和參數(shù)是內(nèi)齒圈齒廓加工的一個(gè)重要問(wèn)題拯奔。

內(nèi)齒圈齒廓修形后應(yīng)達(dá)到的理想狀態(tài)應(yīng)該是：第一，齒廓頂窟句、根部修形量要以避免齒頂办樟、齒根部參于嚙合，減小由于制造萎括、裝配誤差造成的嚙合沖擊，提高嚙合效率俺下。第二巡蛋，在齒廓中部修形量要小且盡可能均勻分布，并有較長(zhǎng)的工作區(qū)预铁，以保證有足夠的同時(shí)嚙合齒數(shù)嚣赤，提高承載能力。第三簸翠，整個(gè)修形曲線要光滑违冲，以保證機(jī)構(gòu)運(yùn)行平穩(wěn)。

4.3.2參數(shù)增量修形法

由內(nèi)齒圈的齒廓方程式可知蒋毕，對(duì)內(nèi)齒圈齒廓有影響的參數(shù)是推桿長(zhǎng)度l略荡，偏心圓激波器的半徑T_b，偏心距e以及滾子半徑T_Z0在數(shù)控加工中歉胶，分別對(duì)每個(gè)參數(shù)給以不同的增量汛兜，則所形成的齒側(cè)間隙與范成加工中相應(yīng)工藝數(shù)增量引起的齒側(cè)間隙相同。因而單獨(dú)對(duì)某個(gè)參數(shù)給以增量或同時(shí)給幾個(gè)參數(shù)增量的不同組合通今，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量的計(jì)算粥谬，得到各種不同形式的修形曲線及其規(guī)律，可供設(shè)計(jì)者選擇辫塌。

a.單一參數(shù)增量修形
等距修形：給參數(shù)T_Z一個(gè)增量△T_Z所得到的修形曲線是理論齒廓曲線的法向等距線漏策。
移距修形：給參數(shù)l一個(gè)增量△1派哲，或給參數(shù)T_b一個(gè)增量加△T_b，使被加工齒廓在原來(lái)理論情況下增加了一定量的進(jìn)刀深度掺喻。
單獨(dú)使用偏心增量助時(shí)芭届，會(huì)在齒頂段或齒根段產(chǎn)生過(guò)盈，故不宜采用巢寡。

可見(jiàn)單一參數(shù)增量法修形效果離前面提出的齒廓修形目標(biāo)相差太遠(yuǎn)喉脖，故常采用它們的組合修形。
b.等距移距修形
給參數(shù)T_z一負(fù)值增量（-△T_z)抑月，同時(shí)給參數(shù)l-正值增量△l搂拴，計(jì)算表明修形曲線形狀如圖4.6中虛線所示。修形曲線實(shí)現(xiàn)了在齒頂苗鸦，齒根修形量較大的目標(biāo)（圖4.6中的AB段及CD段）锤勉，但要想在保持頂根修形量較大的前提下，在齒廓中段獲得較長(zhǎng)的工作區(qū)BC段外羽，無(wú)論如何調(diào)整參數(shù)增量-△T_z及△l赵街，都很難達(dá)到較理想的效果。對(duì)于其它組合修形捡奖，也有同樣的問(wèn)題张庄。為此，需要研究一種更理想的修形方法窍蚤。

4.3.3分段修形法
分段修形法是為了達(dá)到較理想的修形狀態(tài)而提出的一種能夠在數(shù)控加工中實(shí)現(xiàn)的齒廓修形方法拢杠。它根據(jù)修形后要達(dá)到的目標(biāo)，將齒廓分成三段夏植，如圖4.7所示舰断，在工作段BC內(nèi)只進(jìn)行微量的等距修形，在齒頂段AB及齒根段CD內(nèi)同時(shí)進(jìn)行等距△T_z和移距△l增量函數(shù)修形砸捏。

a.齒廓中段的修形
齒廓中段修形的要求是有較小且均勻分布的法向間隙谬运。給參數(shù)T_z增量△T_z，可以達(dá)到這個(gè)目的垦藏。此時(shí)中段BC修形后的齒廓方程為：

上式中l(wèi)₁梆暖、a₂與 的關(guān)系仍為式（2.36）、（2.37）及（2.38）掂骏，因?yàn)檫@些關(guān)系式中的T_Z為內(nèi)滾子半徑式廷，故不變。中段修形范圍是：

現(xiàn)在來(lái)證明齒頂修形曲線與中段修形曲線是光滑連接的芭挽。

第一滑废，在 = 處，兩曲線連續(xù)袜爪。顯然蠕趁，當(dāng) = 時(shí)薛闪，l_a=l，a_2a=a₂俺陋，此時(shí)方程（4.8）就變成了方程（4.6）豁延。

第二，在 = 處降再，兩曲線有相同的切線写掖。設(shè)齒頂段修形曲線的切線斜率為k_a，則由式（4.8）可得：

中段修形曲線的切線斜率k_m可由（4.6）式求得：

顯然在 = 時(shí)序峦，有k_a=k_m侥淤，即齒頂修形曲線與中段修形曲線光滑連接。

c.齒根段的修形

給定齒根修形角 和徑向最大修形量△l_f鳍擎，選擇移距增量函數(shù)：

同樣可以證明或侥，齒根修形曲線與中段修形曲線也是光滑連接的。
4.3.4修形對(duì)工作推桿數(shù)的影響
內(nèi)齒圈齒廓修形之后祷罩，由于工作區(qū)域角的減小哺裳，使同時(shí)參加工作的推桿數(shù)也會(huì)有所減少。相鄰兩推桿之間的中心角為 隔抒，而一個(gè)齒所對(duì)應(yīng)的中心角為 坛饥， 與 之差體現(xiàn)了相鄰兩個(gè)推桿相對(duì)所在齒廓初始位置的差異，記△ = - 课娃，稱△ 為位置差角吴澜，如圖4.8所示。從圖可知甘有，工作推桿的數(shù)目等于推桿工作區(qū)域角與△ 的比值诉儒。推桿工作區(qū)域角指推桿從嚙合傳力開(kāi)始到結(jié)束時(shí)推動(dòng)傳動(dòng)圈轉(zhuǎn)過(guò)的角度葡缰。在不修形的理論情況下亏掀，推桿工作區(qū)域角是 ，經(jīng)修形后泛释，頂根段不參與嚙合滤愕，工作區(qū)域角為“θ= ，所以實(shí)際工作推桿數(shù)n_g為：

顯然怜校，未經(jīng)修形的齒廓曲線在齒頂鄰域和齒根鄰域嚙合的壓力角都很小间影，因而分段修形后應(yīng)將頂、根部大致削去相同的區(qū)段茄茁。即 魂贬、 仰的分配應(yīng)根據(jù)各自所對(duì)應(yīng)的頂根段曲線弧長(zhǎng)相等的原則來(lái)進(jìn)行。一般可近似取 為 的2到4倍裙顽，而取△l_f=esin 付燥。

[計(jì)算實(shí)例]：

對(duì)于TW-3-16推桿減速器宣谈，要求內(nèi)齒圈齒廓經(jīng)修形后同時(shí)工作的推桿數(shù)n_g不少于5，按上述方法確定的修形量為：

取 段卵，則 =3°蜈率， ，△l_a=0.36mm選擇△T_Z=0.19mm荤榄，將齒廓分段修形后魔辉，機(jī)器性能得到了明顯改善。

4.4內(nèi)齒圈齒廓的公法線測(cè)量及加工精度控制

目前在推桿減速器的大批量生產(chǎn)中借倘，對(duì)內(nèi)齒圈齒廓的加工所采用的還都是范成加工方法阀霸，其測(cè)量手段長(zhǎng)期以來(lái)一直沒(méi)能得到很好的解決。一些生產(chǎn)廠家主要是利用測(cè)量齒根至齒圈外圓的厚度及齒頂至齒圈外圓的厚度來(lái)確定被加工齒廓的合格與否轨凡。這種方法并沒(méi)有能夠完全反應(yīng)出內(nèi)齒圈齒廓在加工過(guò)程中所產(chǎn)生的誤差莱妥，它僅斃反應(yīng)出偏心距的誤差。公法線測(cè)量法是以預(yù)先計(jì)算出的公法線理論長(zhǎng)度為依據(jù)文紧，根據(jù)測(cè)量的結(jié)果叔三，能夠判斷出加工過(guò)程中影響內(nèi)齒圈齒廓加工精度的各個(gè)控制參數(shù)所產(chǎn)生的誤差，從而對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行調(diào)整俭谨，使之達(dá)到要求的精度硝拧。

4.4.1公法線的長(zhǎng)度計(jì)算
如圖4.9 所示，AB是其中一個(gè)齒槽的一側(cè)齒廓葛假，A′B′是跨槽數(shù)為K（圖中k=4)的一個(gè)齒梢的另一側(cè)齒廓障陶，它們是兩個(gè)性質(zhì)不同的齒廓。若把AB看成是工作齒廓聊训，則A′B′是非工作齒廓抱究。選擇圖4.9所示的坐標(biāo)系，讓坐標(biāo)原點(diǎn)O與內(nèi)齒圈幾何中心重合带斑，y軸與OA重合鼓寺。設(shè)P（x，y）為AB齒廓上的一點(diǎn)勋磕，在P點(diǎn)與內(nèi)齒圈齒廓相接觸的外滾子的位置角為 妈候，在A′B′上取P點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，使∠A′OO₂= 挂滓，P′點(diǎn)與P點(diǎn)是關(guān)于∠AOA′的平分線完全對(duì)稱的苦银，即0P′=OP，a₂= 赶站，OO₁=00₂幔虏，圖4.9中PO₁與P′O₂相交在Q點(diǎn)，它們并不共線，因此P′點(diǎn)與P點(diǎn)不具有共同的法線奥徒。假設(shè)隨著P點(diǎn)位置的改變（當(dāng)然P′點(diǎn)也隨著P的改變而改變）磺勋，使PO₁與P′O₂在同一條直線上，此時(shí)P′與P就有共同的法線刷粒，此時(shí)：

上式就是齒廓AB上與跨槽數(shù)為k的齒廓具有公法線的點(diǎn)的條件秉疚。當(dāng)k確定后，若存在公法線宵穆，則由（4.17）式并結(jié)合基本關(guān)系式（2.38）等可解出 的值來(lái)椅勿。

從圖4.9可求得公法線長(zhǎng)度為：

              W_k=2（l₁+l）cosa₂+2r_z                                     （4.18）

式中l(wèi)₁、a₂與 的關(guān)系由基本關(guān)系式所確定糯侍。顯然扯际，兩個(gè)齒槽的同側(cè)齒廓（同為工作齒廓或非工作齒廓）是不存在公法線的。

4.4.2公法線的數(shù)目

由于內(nèi)齒圈齒廓曲線具有周期性且工作齒廓與非工作齒廓是完全對(duì)稱的洞逼，所以只需討論一個(gè)齒槽的一側(cè)齒廓與其它齒槽的另一側(cè)齒廓所具有的公法線注芯。

令：

內(nèi)齒圈的齒數(shù)Z_N可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)（實(shí)際產(chǎn)品都是奇數(shù)）党饮。為了討論問(wèn)題的方便肝陪，引用截?cái)嗳≌�符�?hào)“INT”，當(dāng)Z_N為偶數(shù)時(shí)刑顺，INT 等于 氯窍，當(dāng)Z_N為奇數(shù)時(shí)，INT 等于 蹲堂，由函數(shù)式（4.19）可得：

下面就來(lái)講議化跨槽數(shù)k取不同數(shù)值時(shí)狼讨，具有的公法線情況：

（1）跨槽數(shù)k≤INT 的情況

由（4.12）式及（4.22）式知，若Z_N為奇當(dāng)選柒竞，有f（0）<0政供，f <0；若Z_N為偶數(shù)朽基，有f（0）<0布隔，f <0，因而不論Z_N是奇數(shù)還是偶數(shù)踩晶，方程（4.20）在區(qū)間[0执泰， ]內(nèi)若有解枕磁，則必為兩個(gè)子桩。為找出函數(shù)f（ ）在區(qū)間[0， ]內(nèi)的極大點(diǎn)涉捂，令

由上式結(jié)合基本關(guān)系式奄刊，利用計(jì)算機(jī)可解出 在區(qū)間[0， ]內(nèi)f（ ）的極大點(diǎn)渣冒。顯然饱粟，若極大值為正元邻，則公法線有兩條，若極大值為負(fù)掖阶，則公法線不存在咒付。分析計(jì)算還表明，在極大點(diǎn)前炮疲，函數(shù)f（ ）單調(diào)增加枷斩，在極大點(diǎn)后，函數(shù)f（ ）單調(diào)減小虎叔。一般極大點(diǎn)接近 味测，為討論方便，選 =作特征點(diǎn)铺坞，代替極大點(diǎn)討論起宽，經(jīng)計(jì)算證實(shí)，不會(huì)影響解的正確性济榨。假若f() >0坯沪，則在[0， ]內(nèi)必有兩個(gè)點(diǎn)滿足方程(4.20)擒滑，這兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 值分別位于[0屏箍， ]，（ 橘忱， 之內(nèi)赴魁。結(jié)合圖4.9可知，位于[0钝诚， ]內(nèi)的點(diǎn)颖御，其公線是凸齒公線，而位于（ 凝颇， 公法線凹齒公線潘拱。凸齒公線是被測(cè)兩個(gè)齒廓上最短的連線，凹齒公法線是被測(cè)兩個(gè)齒廓上最長(zhǎng)的連線末瘾。這使得實(shí)際測(cè)量成為可行唠芋。假若f( )<0，則公法線不存在讼舰。

則當(dāng)跨槽數(shù)k<k₀時(shí)拧淘，兩齒廓不存在公法線。當(dāng)INT ≥k>k₀時(shí)沦望，兩齒廓具有凸凹兩條公法線族焰。

故方程（4.20）只在區(qū)間（ ， 內(nèi)有解，即兩齒廓只有一條凹齒公法線蚊凫。

當(dāng)Z_N為偶數(shù)時(shí)盲赚，有f（0）>0，,故兩齒廓也只有一條凹齒公法線肛英，且位于 =

把跨槽數(shù)k取到k₀到INT() +1之間不同整數(shù)值時(shí)所具有的公法線合在一起就是內(nèi)齒圈齒廓所具有的各種不同長(zhǎng)度的公法線總數(shù)膘椿。

[算例]

對(duì)于前面提到的3TWY7.5-12推桿減速器，齒數(shù)Z_N=11林索，計(jì)算得到k₀=4坠狡，即當(dāng)跨槽數(shù)k小于等于4時(shí)，兩齒郭不具有公法線遂跟。當(dāng)跨槽數(shù)k=5時(shí)逃沿，計(jì)算得到兩條公法線，理論長(zhǎng)度分別為：

凸齒公法線   W₅₁=209.632mm幻锁，對(duì)應(yīng)于 =1.755°

凹齒公法線   W₅₂=215.716mm凯亮，對(duì)應(yīng)于 =12.485°

當(dāng)跨槽數(shù)k=6時(shí)，計(jì)算得出只有 條凹齒公法線

             W₆₃=230.146mm哄尔，對(duì)應(yīng)于 =15.205°

合起來(lái)假消，此推桿減速器的內(nèi)齒圈齒廓共有三條不同長(zhǎng)度的公法線，它們的位置如圖4.10所示岭接。

4.4.3刀具軸線有偏距時(shí)的內(nèi)齒廓及公法線

用圓柱形刀具加工內(nèi)齒圈齒廓時(shí)富拗，刀具軸線應(yīng)在齒圈的半徑方向作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，如果它不沿著齒圈半徑方向運(yùn)動(dòng)鸣戴，那就有了偏距啃沪。在圖4.11中，若刀具中心的運(yùn)動(dòng)方向平行于y軸窄锅，而刀具中心在O₂處创千，那就有了偏距E，現(xiàn)在來(lái)分析此時(shí)加工出來(lái)的齒廓及公法線長(zhǎng)度割对，

同圖4.11可得：

利用第二章中推導(dǎo)內(nèi)外滾子工作角關(guān)系的方法可得a₂與a₁的關(guān)系為：

經(jīng)過(guò)分析可知揖姆，當(dāng)存在偏距E時(shí)，在跨槽數(shù)為k的兩齒廓上具有公法線的點(diǎn)的條件仍然可用式（4.17）表示援漓，公法線長(zhǎng)度為：

若令（4.30）式和（4.31）式中的E=0眼厕，得到的就是無(wú)偏距時(shí)的內(nèi)齒圈齒廓理論方程式（2.21）及公法線長(zhǎng)度（4.18）式。

4.4.4利用公法線誤差分析加工調(diào)整參數(shù)誤差
由齒廓方程式（4.30）可以知道标康，齒廓形狀取決于偏心軸的偏心距e半就，偏心軸幾何中心到固定點(diǎn)長(zhǎng)度R，刀具半徑T_Z接馏，進(jìn)刀深度l以及刀具軸線偏距E卷哟。e和R是夾具結(jié)構(gòu)上的固定尺寸，應(yīng)該調(diào)整得盡量正確扇蚯，而其誤差加△e役躬、△R也是個(gè)定值。而△T_Z是由于刀具制造誤差及加工過(guò)程中的磨損引起柿糖，△l及△E是由于操作誤差引起纸兔。因此，△T_Z否副、△l及△E是導(dǎo)致齒形誤差的工藝因素汉矿。下面來(lái)分析它們對(duì)公法線長(zhǎng)度的影響。

把公法線長(zhǎng)度W_k看成是自變量為T_Z备禀、l及E的函數(shù)洲拇，即W_k=W_k（T_Z，l曲尸，E）赋续，由（4.31）式可得：

假設(shè)用下標(biāo)i表示公法線序號(hào)，用△W_ki表示第i條公法線實(shí)際測(cè)量出的值與理論計(jì)算出的值的誤差另患，則可得到公法線長(zhǎng)度誤差方程為：

則：

上式中A^-1是矩陣A的逆陣纽乱，稱誤差矩陣。當(dāng)算得相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)值后昆箕，如果測(cè)得一個(gè)齒槽的一側(cè)齒廓與其它齒廓的三條公法線的誤差鸦列，代入方程組（4.32）之后，便可求得相應(yīng)的△T_Z鹏倘、△l和△E策退。△T_Z是經(jīng)計(jì)算得到的刀具半徑的誤差气穴，△l是進(jìn)刀深度誤差柳竟，△E是刀具軸線偏心距的誤差，根據(jù)計(jì)算結(jié)果適當(dāng)調(diào)整這些參數(shù)就能迅速地提高齒廓精度肩卡，使之達(dá)到精度要求慰乾。

［計(jì)算實(shí)例〕
前面所說(shuō)的3TWT7.5-12推桿減速器，根據(jù)參數(shù)可計(jì)算得到其誤差矩陣A^-1為：

                  

在一個(gè)內(nèi)齒圈齒廓上實(shí)際測(cè)得三條公法線的長(zhǎng)度與理論長(zhǎng)度的誤差為：

△W₅₁=0.02261mm

△W₅₂=0.03806mm

△W₆₃=0.02106mm

代入式（4.32）可得：

△T_Z=0.0202mm嗦忍，△l=0.032mm殊童，△E=0.1697mm

根據(jù)計(jì)算結(jié)果適當(dāng)調(diào)整這些參數(shù)就能迅速提高齒廓精度，使之達(dá)到精度要求阿绣。