推桿減速器的效率計(jì)算與強(qiáng)度校核
推桿減速器的嚙合效率是衡量其性能的一個(gè)重要指標(biāo)漓琢，而強(qiáng)度校核是確定其承載能力的主要依據(jù)犁鹤。對(duì)它們的理論分析能否正確反應(yīng)推桿減速器的實(shí)際情況，直接影響到推桿減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果。
推桿減速器由于采用推桿這一特殊構(gòu)件作為活齒求晶，因而使得它在效率與強(qiáng)度計(jì)算方法上與其它活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)有所不同炮车。其特點(diǎn)是傳動(dòng)圈導(dǎo)槽對(duì)推桿等效全反力的作用點(diǎn)及方向隨推桿工作位置的不同而發(fā)生的變化很大。因而與其它活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)（例如滾柱活齒減速器）的效率計(jì)算方法是不同的记焊。在已發(fā)表的有關(guān)推桿減速器效率計(jì)算的文獻(xiàn)中逸月，都近似地把在外滾子與內(nèi)齒圈之間作用力固定不變的情況下，無摩擦損失時(shí)與有摩擦損失時(shí)所需的驅(qū)動(dòng)力或驅(qū)動(dòng)力矩的比值作為嚙合效率遍膜。有的雖然考慮了驅(qū)動(dòng)力矩碗硬，但同時(shí)又把有摩擦?xí)r的驅(qū)動(dòng)力近似處理為通過內(nèi)滾子中心。實(shí)際計(jì)算表明瓢颅，這些近似處理方法所帶來的誤差是很大的恩尾。而且這些文獻(xiàn)只討論了單個(gè)推桿的嚙合效率。
本章詳細(xì)分析了推桿在不同情況下的受力狀態(tài)挽懦，考慮了慣性力的影響翰意，嚴(yán)格按嚙合效率定義推導(dǎo)出了較為精確的總體嚙合效率計(jì)算公式，并利用計(jì)算機(jī)能夠進(jìn)行大量復(fù)雜運(yùn)算的特點(diǎn)铡碧，取機(jī)構(gòu)在若干不同嚙合點(diǎn)位置時(shí)效率的平均值作為總的嚙合效率嗦休，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本相吻合。
3.1推桿在導(dǎo)槽內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分析
在推桿減速器中愧蔬，動(dòng)力的傳遞是靠運(yùn)動(dòng)著的推桿來完成的首捶，推桿在工作行程中相對(duì)導(dǎo)槽的運(yùn)動(dòng)是變速的外推滑動(dòng)，其速度ur可用內(nèi)滾子中心01點(diǎn)的速度表示茴夯，如圖2.7所示按冷。在前面已求得當(dāng)傳動(dòng)圈固定時(shí),內(nèi)滾子中心Ol點(diǎn)的位移為：
推桿在工作行程開始時(shí)，ι1值為最小屁茁，這時(shí)ιmin=Tb+Te-e芳乎，a1=0，
，
加速度方向同運(yùn)動(dòng)方向一致捍睡，即從內(nèi)向外作加速運(yùn)動(dòng)呛靡。
推桿在工作行程結(jié)束位置，ι1達(dá)到最大值ιmin=Tb+Tz+e唧取，此時(shí)a1=0铅鲤，
=π，
=0枫弟，
加速度方向與運(yùn)動(dòng)方向相反邢享，即作減速運(yùn)動(dòng)。
為求出
淡诗，命ar=0骇塘，可得：
聯(lián)立（3.4）式及（3.1）式，可求得ar=0時(shí)對(duì)應(yīng)的
值韩容，由此可得到該位置各運(yùn)動(dòng)參數(shù)的值款违，此時(shí)速度有最大值urmax。
[算例]
對(duì)于3TWY7.5-12推植減速器宙攻，Tb=55mm奠货，Tz=10mm，ε=5mm座掘，ι=36mm递惋，ωJ=1500RPM，iJN=-11驳疚，計(jì)算出的ι1炬伶，
，ar與
的關(guān)系曲線如圖3.1所示贞触。
3.2推桿受力分析
在第二章已把推桿減速器根據(jù)傳動(dòng)圈是否與激波器轉(zhuǎn)向相同分為正反兩種結(jié)構(gòu)吻拼。這兩種結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)是不同的。下面先討論正向結(jié)構(gòu)吗屏。
設(shè)激波器按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)局权，如圖3.2所示，則激波器迫使與其接觸的內(nèi)滾子自身以逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)菱戒，在激波器與內(nèi)滾子接觸點(diǎn)M1處拒徐，激波器轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長大于內(nèi)滾子轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長，所以激波器對(duì)內(nèi)滾子的摩擦力方向是沿切線方向向右慧跋，與激波器沿接觸點(diǎn)法線方向?qū)?nèi)滾子的作用力一起組成全反作用力FJ莽每。在外滾子與內(nèi)齒圈接觸點(diǎn)風(fēng)處，外滾子沿齒廓向齒根方向運(yùn)動(dòng)械兽，內(nèi)齒圈齒廓對(duì)外滾子的摩擦力方向?yàn)檠佚X廓指向齒頂?shù)那芯�方向辖备，與內(nèi)齒圈沿接觸點(diǎn)M2法線方向?qū)ν鉂L子的作用力一起組成全反力FN咸唇。
在傳動(dòng)圈導(dǎo)槽與推桿的接觸處，受到傳動(dòng)圈導(dǎo)槽對(duì)推桿的向下摩擦力拷泽，與沿法線方向的約束反力一起組成全反力FC疫鹊。
圖3.2中的θ1、θ2 司致、θ3分別為激波器與內(nèi)滾子之間订晌、內(nèi)齒圈齒廓與外滾子之間以及導(dǎo)槽與推桿之間的摩擦角。
如上節(jié)所述蚌吸，催件在隨傳圈作勻速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，還相對(duì)導(dǎo)槽作加速度為ar的加速運(yùn)動(dòng)砌庄。根據(jù)達(dá)朗伯原理羹唠，除了上述真實(shí)的作用力及約束反力外，再假想地加上慣性力的反力娄昆，這些力在形式上組成一個(gè)平衡力系佩微。推桿所產(chǎn)生的慣性力由三部分組成：向心力Fω，相對(duì)慣性力Fr萌焰，科氏慣性力Fk哺眯，它們的作用點(diǎn)可看作是推桿的質(zhì)心，其反力的方向如圖3.2所示篱瀑，由理論力學(xué)知止槽，它們的計(jì)算按下式：
式中m是推桿的質(zhì)量。
3.2.1推桿單側(cè)受力的平衡方程
當(dāng)FJ送县、FN二力的交點(diǎn)Q落在傳動(dòng)圈所在環(huán)內(nèi)（圖3.2所示）揍久，推桿呈現(xiàn)單側(cè)受力狀態(tài)（右側(cè)受力），對(duì)推桿質(zhì)心取矩桌偎，可得如下平衡方程式：
由于考慮了慣性力迁耘，所以力Fc 不通過交點(diǎn)Q，lc也是一個(gè)未知數(shù)徊岂。若根據(jù)輸入功率確定出FJ粤未，則方程組（3.8）只剩下FN、FC及lc三個(gè)未知數(shù)了田漓。
3.2.2推桿雙側(cè)受力的平衡方程
若傳動(dòng)圈尺寸選用不當(dāng)缚袒，或者是機(jī)構(gòu)為反向結(jié)構(gòu)，使FJ與FN作用力的交點(diǎn)Q 落在傳動(dòng)圈所在環(huán)外（圖3.3所示）時(shí)暮孕，推桿呈現(xiàn)雙側(cè)受力狀態(tài)苛瞬。生產(chǎn)實(shí)踐表明，推桿雙側(cè)受力將造成推桿嚴(yán)重的磨損十偶。這種情況下推桿的受力與傳動(dòng)圈外徑尺寸有關(guān)菩鲜。對(duì)于圖3.3所示受力情況园细，對(duì)推桿質(zhì)心取矩，可列出它的平衡方程式為：
3.2.3反向結(jié)構(gòu)的受力分析
在傳動(dòng)圈與激波器轉(zhuǎn)向相反的結(jié)構(gòu)中接校，工作推桿的受力狀誠如圖3.4所示猛频。從受力狀態(tài)圖可以看出，在運(yùn)動(dòng)過程中蛛勉，推桿與導(dǎo)槽必然形成雙側(cè)接觸鹿寻。推桿兩側(cè)將造成嚴(yán)重磨損，實(shí)際生產(chǎn)中诽凌，應(yīng)避免使用反向結(jié)構(gòu)毡熏。
3.3效率計(jì)算
3.3.1單個(gè)推桿的效率計(jì)算
從方程組（3.8）中消去FN得：
3.3.2整體效率計(jì)算
從上面單個(gè)推桿的效率計(jì)算公式可知，對(duì)應(yīng)激波器的不同轉(zhuǎn)角侣诵，效率是不同的痢法。實(shí)際上總有多個(gè)推桿同時(shí)工作，因而應(yīng)求出整個(gè)機(jī)構(gòu)的總體效率杜顺。
下面首先來分析驅(qū)動(dòng)力在工作推桿上的分布規(guī)律财搁。
設(shè)傳動(dòng)構(gòu)件之間無間隙，并設(shè)激波器是完全剛性的卿才。在驅(qū)動(dòng)力矩作用下蝉丧，各工作推桿的內(nèi)滾子在與激波器接觸處產(chǎn)生法向彈性變形，使激波器轉(zhuǎn)過一個(gè)微小的角度△θ本博，如圖3.5所示就留，則可確定彈性變形量εi的分布規(guī)律。
設(shè)最大彈性變形量為ε霍执，由圖3.5可知：
上式中：FJm為對(duì)應(yīng)最大變形處的作用力山滔；FJi為激波器對(duì)第i個(gè)推桿的作用力；τi為第i個(gè)推桿內(nèi)滾子中心與激波器短軸所夾的圓心角删摸。如圖3.2所示莉紊。
在任
一瞬間，各工作推桿所處的位置是不同的攀誓，設(shè)第i個(gè)工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器轉(zhuǎn)角為幼潮，則：
由于相鄰兩推桿所夾的中心角為2π/ZC，在某一時(shí)刻坏榜，只要其中
一個(gè)工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器位置角（激波器相對(duì)該推桿從初始工作位置轉(zhuǎn)過的角度）確定后坯苹，其它各工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器位置角也隨之確定下來。設(shè)各工作推桿所對(duì)應(yīng)的最小激波器位置角為
摇天，如圖3.6所示粹湃，則從對(duì)應(yīng)激波器位置角為的這個(gè)工作推桿開始，順序第i個(gè)工作椎桿所應(yīng)的激波器位置角為：
這樣泉坐，一旦最小激波器位置角 被確定为鳄，各工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器位置角便隨之被確定下來裳仆，從而各嚙合點(diǎn)也被確定下來，稱最小激波器位置角 為嚙合點(diǎn)定位角孤钦，簡稱嚙合定位角歧斟。嚙合定位角的取值范圍是：
0≤<
類似方程組（3.8）的建立及求解，可得第i個(gè)工作推桿的Fci及lci偏形，與式（3.10）及（3.11）類同静袖。
考慮到實(shí)際裝置為雙排結(jié)構(gòu)，輸入功率P1可表示為：
為使表達(dá)式簡潔俊扭，本文下面在累加符號(hào)“
”后的式子中队橙，各參量對(duì)應(yīng)的下標(biāo)i略去不寫，如ali只寫成al贝泞。
上述式中斗黍，ng表示工作推桿數(shù)。在沒有頂切肚浴，又不修形的理論情況下，工作推桿數(shù)ng為推桿總數(shù)的一半苇恤。實(shí)際上淡碟，由于齒廓修形等原因，實(shí)際工作推桿數(shù)ng比理論情況下要少供窝。
計(jì)算時(shí)一步，先根據(jù)輸入功率P1及轉(zhuǎn)速ωJ由（3.19）式計(jì)算出FJm，然后對(duì)每一工作推桿由式（3.17）計(jì)算出FJi百涕，由式（3.10）式及式（3.11）計(jì)算出Fci及lci率满，最后代入式(3.21）計(jì)算出效率η。
當(dāng)不考慮慣性力時(shí)斩角，只需令上述公式中的Fr夷呐，FK，Fω都等于零伶丐，這時(shí)公式為：
可見悼做，在忽略慣性力影響的情況下，機(jī)構(gòu)的嚙合效率與輸入功率哗魂、轉(zhuǎn)速都無關(guān)肛走。
從式（3.22）或式（3.21）可知，機(jī)構(gòu)的整體嚙合效率η與各工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器位置角有關(guān)录别，而各工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器位置角又可隨嚙合定位角的確定被確定下來朽色。因而，對(duì)指定的嚙合定位角组题，由式（3.22）可計(jì)算得到唯一的數(shù)值葫男，當(dāng) 在其取值范圍內(nèi)取不同值時(shí)抱冷，由式（3.22）所計(jì)算出的效率也略有不同。為此腾誉，將嚙合定位角的取值區(qū)域［0,2π/ZC] 平均分成50等分徘层，分別用式（3.22)計(jì)算嚙合定位角取這50個(gè)位置的不同數(shù)值時(shí)機(jī)構(gòu)的嚙合效率，然后取其平均值作為機(jī)構(gòu)的總平均嚙合效率場利职，即
對(duì)交點(diǎn)Q落在傳動(dòng)圈所在環(huán)外的情況趣效，在方程組（3.9）中消去FN后，類似上述方法同樣可求得此時(shí)的效率計(jì)算公式撼盈。實(shí)際計(jì)算表明绊叙，這種情況效率較低，而且推桿受力狀態(tài)不好节讹，將造成嚴(yán)重磨損夸营。實(shí)際設(shè)計(jì)中應(yīng)避免這種情況發(fā)生。因而在設(shè)計(jì)推桿減速器時(shí)漾肩，應(yīng)正確選用傳動(dòng)圈尺寸及其它各參數(shù)贫介，以確保Q點(diǎn)任何時(shí)候都能落在傳動(dòng)圈所在環(huán)內(nèi)。
［算例]：
TW-3-16推桿減速器的參數(shù)是：Tb=50mm,Tz=6mm掘鱼，e=3mm翠蓄，l=22mm，ZN=15,ZC=16鸣拦。
分析推桿減速器各嚙合副的形式可知抢纹，推桿與導(dǎo)槽是滑動(dòng)摩擦接觸，激波器與內(nèi)滾子可近似看作滾動(dòng)摩擦接觸葱妒，而內(nèi)齒圈與外滾子之間滾滑兩種成份都有谚剿。
由文獻(xiàn)查得滑動(dòng)摩擦系數(shù)為0.05-0.1，而滾動(dòng)摩阻系數(shù)k=0.01mm连锯，由文獻(xiàn)可知滾動(dòng)摩擦系數(shù)為k/Tz=0.0017归苍。由于摩擦系數(shù)只是個(gè)參考數(shù)值，為了使計(jì)算結(jié)果更有實(shí)際意義运怖，選用了三組不同摩擦系數(shù)的值霜医，計(jì)算結(jié)果如表3.1所示。
表3.1選用不同摩擦角時(shí)嚙合效率的計(jì)算結(jié)果
|
θ1 θ2 θ3 ηP |
|
0.002 0.01 0.06 0.958
0.0025 0.015 0.07 0.951
0.003 0.02 0.08 0.946 |
設(shè)η機(jī)為推桿減速機(jī)的整體效率驳规，ηZ為軸承效率肴敛，ηJ為工作時(shí)攪動(dòng)潤滑油的功率損失，則應(yīng)有：
η機(jī)=ηP·ηZ·ηJ （3.24）
由試驗(yàn)知吗购，η機(jī)=0.91医男，整機(jī)采用了4對(duì)軸承近似取ηZ=0.97，ηJ =0.98,由式（4.24）可得ηP=0.957捻勉《扑螅可見刀森，實(shí)際嚙合效與理論計(jì)算基本相符合。
3.3.3構(gòu)件尺寸對(duì)嚙合效率的影響
為了判斷推桿減速器構(gòu)件尺寸對(duì)其效率的影響报账，對(duì)3TWY7.5-12推桿減速器研底，選用同一組摩擦系數(shù)，而改變某一基本構(gòu)件尺寸迄帘，并假定傳動(dòng)圈尺寸隨之改變以確保受力交點(diǎn)Q落在傳動(dòng)圈所在環(huán)內(nèi)修扁，計(jì)算其嚙合效率，結(jié)果如圖3.7所示榔况。
從圖3.7可以看出峡逆，嚙合效率隨著激波器偏心距e的增大而升高，隨著激波器半徑Tb钩榄、滾子半徑Tz念弧、推桿長度l的增大而降低。其中偏心距武也。對(duì)效率的影響最為嚴(yán)重依播，推桿長度對(duì)效率的影響最小。
3.4強(qiáng)度校核
根據(jù)推桿減速器結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)耿逐，強(qiáng)度校核應(yīng)著重于各零件之間的接觸強(qiáng)度娶架。由于激波器與內(nèi)滾子之間以及內(nèi)齒圈與外滾子之間不僅相互作用力大，而且是線接觸玩冷，因而這些零件是需要進(jìn)行接觸強(qiáng)度校核的主要對(duì)象。在推桿與傳動(dòng)圈導(dǎo)槽之間炼幔，由于接觸面積較大秋茫，故接觸應(yīng)力不會(huì)太大。當(dāng)零件所使用的材料及熱處理方式不同時(shí)乃秀，其許用接觸應(yīng)力大小也不相同肛著，因而對(duì)激波器與內(nèi)滾子接觸處以及內(nèi)齒圈與外滾子接觸處都應(yīng)進(jìn)行接觸應(yīng)力的計(jì)算。
3.4.1激波器與內(nèi)滾子之間的接觸應(yīng)力
激波器與內(nèi)滾子的接觸跺讯，顯然是兩個(gè)圓柱體的相壓接觸枢贿，由彈性力學(xué)可知，在接觸處產(chǎn)生的
最大接觸應(yīng)力σHJ可由下面的赫茲應(yīng)力公式來計(jì)算：
上式中：b為內(nèi)滾子的工作長度刀脏。
Ed為當(dāng)量彈性模量局荚，
，由于E1和E1都是鋼材的彈性模量愈污，所以Ed=E1=2.1×105
N/mm2
PJ為當(dāng)量曲率半徑耀态，PJ=
FJmax為激波器與內(nèi)滾子之間的最大奪力，可近假用FJm來代替暂雹，由式（3.19）可得：
為求上式中的最大值首装，可將嚙合定位角在其取值范圍內(nèi)進(jìn)行一維搜索抱典。
[σ]HJ為激波器與內(nèi)滾子所用材料的最小許用接觸應(yīng)力。
3.4.2內(nèi)齒圈與外滾子之間的接觸應(yīng)力
由于內(nèi)齒圈齒廓上各接觸點(diǎn)都有對(duì)應(yīng)的曲率赊偿，因此外滾子與內(nèi)齒圈的接觸绵另，可看作是兩個(gè)瞬時(shí)圓柱體的接觸，在對(duì)應(yīng)于內(nèi)齒圈齒廓的齒頂部分绅鉴，相當(dāng)于兩個(gè)圓柱體外接觸姨莽，在對(duì)應(yīng)于內(nèi)齒圈齒廓的齒根部分，相當(dāng)于兩個(gè)圓柱體內(nèi)接觸真稚。由于內(nèi)齒圈理論齒廓曲線上各點(diǎn)的曲率半徑不同千雏，各點(diǎn)的作用力也不相等，因而在赫茲應(yīng)力公式农帝，需求出FN/PN的最大值误目，最大接觸應(yīng)力σHN為：
上式中k2為外滾子中心軌跡的相對(duì)曲率，在齒頂部分其值為正舆飒，在齒根部分其值為負(fù)轴私。
為求上式的最大值，首先給嚙合定位角在其取值范圍內(nèi)指定若干個(gè)離散點(diǎn)能真，對(duì)于在每個(gè)離散點(diǎn)上的取值赁严，都分別計(jì)算出各工作推桿所應(yīng)的FN/PN，取其中最大者粉铐。然后把取每個(gè)離散點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的最大FN/PN再進(jìn)行比較疼约，可求得
。
