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齒輪故障振動的研究

齒輪是機(jī)械傳動系統(tǒng)的主要部件屏酌，它已被廣泛地應(yīng)用在旋轉(zhuǎn)機(jī)械及動力傳輸裝置中锋辩。齒輪在進(jìn)行嚙合傳動時暖经，由于外載荷變化、齒輪加工誤差叽燃、齒輪嚙合剛度的時變性及嚙合沖擊等因素的影響缕沟，齒輪將產(chǎn)生振動。齒輪在振動時構(gòu)成一個線性時變或非線性時變系統(tǒng)符固。齒輪在傳動過程中族江，隨著齒面磨損的擴(kuò)展，齒輪的齒形誤差拓肉、基節(jié)誤差和齒側(cè)間隙也將增加站号。齒輪齒側(cè)間隙對齒輪振動特性影響的研究，國外起始于1967年KNakamura的研究瘩朋，主要利用數(shù)值仿真從時域分析研究了齒輪系統(tǒng)的振動特性尔减。近年來國外AKahlarman等學(xué)者從頻域上研究了一定齒側(cè)間隙對齒輪幅頻特性的影響，并從實驗上驗證了當(dāng)存在齒輪側(cè)隙時券亚，一個齒輪一傳動軸一支撐軸承系統(tǒng)會產(chǎn)生亞諧和超諧共振缓艳。本章在建立齒輪振動微分方程的基礎(chǔ)上，用變步長Runge-Kutta法求出了存在間隙時齒輪振動的時程響應(yīng)的數(shù)值解看峻，并用FFT方法求出時程響應(yīng)的幅值譜阶淘，對在非共振情況下齒輪側(cè)隙和載荷的變化對齒輪振動頻率的影響進(jìn)行了研究衙吩。研究結(jié)果表明，齒側(cè)間隙的變化對齒輪的振動故障頻率成份有很大的影響溪窒；齒側(cè)間隙的值一定時坤塞，如果齒輪的工作轉(zhuǎn)速和工作載荷發(fā)生改變時，齒輪的振動故障頻率成份也有改變澈蚌。該結(jié)果對齒輪的故障診斷和齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)設(shè)計有重要的意義摹芙。
此外，本章還對齒輪偏心質(zhì)量對齒輪扭轉(zhuǎn)振動的影響進(jìn)行了分析研究宛瞄，并分析了頻譜特征浮禾。

2.1齒輪振動力學(xué)模型及嚙合力分析

設(shè)有一對齒輪傳動，齒輪1為主動齒輪份汗，齒輪2為從動齒輪盈电，它們分別有一偏心質(zhì)量m_l和m₂，振動力學(xué)模型見圖2-l琴市。設(shè)主動齒輪的扭轉(zhuǎn)振動角位移邑丰、角速度、角加速度和旋轉(zhuǎn)角速度分別為 和ω₁殊馋，從動齒輪的扭轉(zhuǎn)振動角位移伺免、角速度、角加速度和旋轉(zhuǎn)角速度分別為  和ω₂嗤舀，則有ω₁=iω₁(i為齒輪傳動比）徐敢。
為了研究問題的方便，特作如下假設(shè)：
(l）齒輪的支撐軸又短又粗工杀，近似為剛性軸彰茉，故不考慮其橫向振動及扭轉(zhuǎn)振動；

(2）滾動軸承剛度較大估裁，作為剛性支撐處理并忽略軸及軸承的阻尼垮登。

作用在主、從動齒輪的力矩分析如下：

（1）作用在主動齒輪上的驅(qū)動力矩T₁（t）是常數(shù)吠谐，即T₁（t）=C疙岂；而作用在從動齒輪上的工作阻力矩T₂（t）可看作一個恒量T_m與幅值為T_aT簡弦變量之和：

T₂（t）=T_m+T_aTsin（ω_Tt+ф_T）                                （2-1）

式中ω_Tt、ф_T-分加這從動齒輪上的工作阻力矩T₂（t）變化圓頻率和初始相位角彬呻。

圖2-1中衣陶，r_b1——主動齒輪基圓半徑；r_b2——從動齒輪基圓半徑闸氮；K（t）——齒輪嚙合剛度剪况；e₁——主動齒偏心距；e₂——從動齒輪偏心距；β₁——主動齒輪不平衡質(zhì)量的初始角度译断；β₂——從動齒輪不平衡質(zhì)量的初始角度授翻；δ（t）——齒輪的綜合誤差；J_D1——主動齒輪轉(zhuǎn)動慣量孙咪；JD₂——從動齒輪轉(zhuǎn)動慣量藏姐；C（t）——齒輪阻尼系數(shù)；b——具側(cè)間隙该贾；n-n——齒輪嚙合線方向。

（2）作用在主捌臊、從動齒輪間的動態(tài)嚙合力及嚙合力矩

i）當(dāng)不考慮齒側(cè)間隙時杨蛋，動態(tài)嚙合力：

P_nK（t）[X-δ（t）]                                             （2-2）

式中X=r_b1tgθ₁-r_b2tgθ₂為主、從動齒輪間的相對振動位移肘认；K（t）為齒輪嚙合剛度蛹段，近似視為矩形波，可展為富氏級數(shù)：

式中：ε——重合度舞铝；ω_meh——齒輪嚙合頻率捞书；K_n——齒輪剛度諧波項；K¹——單對齒嚙合剛度毁设；K²——兩對齒嚙合剛度佣锁；Ψ_n——齒輪剛度諧波項相位。

一對齒輪的綜合誤差δ（t）也可展為富氏級數(shù)：

式中：δ（t）——齒輪誤差諧波系數(shù)厢卖； ——齒輪誤差諧波項相比擎津；

嚙合力矩P_nr_bi                                （i=1，2）

ii）當(dāng)考慮齒側(cè)間隙時啊嘁，動態(tài)嚙合力：

P_n K（t）f（r_b1tgθ₁- r_b2tgθ₂-δ（t））= K（t）f（t）                （2-8）

其中f（t）為分段非線性函數(shù)朵聪，可表示為如下形式：

（3）阻尼力矩：

C（t）（ - （t））r_b1      （i=1，2）（不考慮齒側(cè)間隙）                 （2-10）

或C（t）f′（t）r_b1     （i=1干际，2）（考慮齒側(cè)間隙）                   （2-11）

其中：齒輪阻尼系數(shù)C（t）=2 亮花，m_red——嚙合齒輪當(dāng)量質(zhì)量。阻尼比 根扭圖2-2取值弓熏。阻尼系數(shù)C（t）也可根據(jù)下列公式取值：

式中：e——中間變量：V為齒面間相對滑動速度恋谭。

（4）由不平衡質(zhì)量即偏心質(zhì)量造成的附加力（嚙合力方向）：

2.2齒輪振動支力學(xué)方程

根據(jù)上節(jié)單級齒輪系統(tǒng)的受力分析，可得θ₁硝烂、θ₂兩自由度主從動齒輪振動微分方程：

式中 箕别。很明顯，由于θ滞谢， 串稀， 前面的系數(shù)和時變剛度K（t）、非線性函數(shù)f（t）有θ， 有關(guān)母截，不是常數(shù)到忽，故方程組（2-14）是一個非線性時方程組。

2.3方程考慮解法考慮齒輪齒側(cè)間隙的振動頻譜特征

當(dāng)不考慮偏心質(zhì)量清寇，而只考慮存在齒輪齒側(cè)間隙時喘漏，方程組（2-14）可化為：

由于上式是一個非線性時變方程組，它的理論解無法得出华烟，故采用數(shù)值解法求解塞补。為了便于計算，將方程組（2-15）轉(zhuǎn)化到狀態(tài)空間中径瘪，將方程組表達(dá)成： =f_i（Z₁喻丐，Z₂，Z₃患敢，Z₄）腔水，i=1，2邦孽，3已堆，4，則原方程組可表達(dá)成：

2.3.1方程數(shù)值解法

采用經(jīng)典的四階Runge-Kutta法或四階的Runge-Kutta-Gill法方程級的數(shù)值解揣喻，即可求得齒輪的扭轉(zhuǎn)振動時程響應(yīng)你拗。為了保證求解收斂，求解過程中應(yīng)采用步長迭代悠怕。其計算公式如下：

1.鬼神代初始值的選绕�戳。�

有三種方式：

（1），即 這種取值方法對求瞬態(tài)應(yīng)較為有利隶谒，但計算時間較長時也可求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)攻泼；

（2） 和 的值根據(jù)額定扭矩下求得齒輪扭轉(zhuǎn)角， 和 的值取額定旋轉(zhuǎn)角速度鉴象，迭代時間很長才能求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)忙菠；

（3） 和 的值根據(jù)額定扭矩下求得齒傳輸線扭轉(zhuǎn)角， 和 纺弊，這種方法可在較短的時間內(nèi)求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)牛欢。

2.幅值譜計算

在求得了齒輪的時程響應(yīng)后，經(jīng)過FFT變換可求得齒輪相對振動的幅值譜淆游。幅值譜計算公式：

3.數(shù)值算例

以直齒圓柱齒輪為例（斜齒圓柱齒輪應(yīng)把齒數(shù)Z換成當(dāng)量齒數(shù)Z_V）傍睹，計算齒輪齒側(cè)間隙變化對齒輪振動故障頻率成份的影響以及齒輪工作載荷及轉(zhuǎn)速的對齒輪振動故障頻率成份的影響。取零初始條件計算犹菱。

4.齒輪具體參數(shù)如下：

模數(shù)            m=3mm

齒數(shù)            Z₁23拾稳，Z₂45

分度圓半徑      r₁=34.5mm吮炕，r₂=67.5mm

基圓半徑        r_b132.4mm，r_b2=63.4mm

扭矩            T₁=63.47Nm访得，T₂124.57Nm

重合度          ε=1.677

齒寬            b=20mm

嚙合剛度諧波項：          K₀5.6157×10⁸N/m龙亲，K₁1.8107×10⁸N/m，K₂=0.9558×10⁸ N/m左启，K₃=0.0691×10⁸ N/m

齒輪當(dāng)量質(zhì)量                 m₁=0.293kg, m₂=1.216kg

阻尼系數(shù)                     C=3275

齒輪轉(zhuǎn)動慣量                 J_D1=0.000307945kgm²吻讽，JD₂=0.004888484kgm²

電動機(jī)轉(zhuǎn)速                   n=960rpm

齒側(cè)間隙                     0～0.3mm

2.3.2考慮齒輪齒側(cè)間隙的振動頻譜特征

軸承對箱體動態(tài)激勵力和齒傳輸線相對振動位移X=（r_b1tgθ₁-r_b2tgθ₂）有相對振動速度 （=r_b1sec²θ_{1 1}）有關(guān)，文中只列出 的計算結(jié)果技腻，圖2-3～圖2-13為各種工況的齒輪故障振動分析值资，其中包括齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖、齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖和相平面圖仓筷。
(l）齒輪工作轉(zhuǎn)速一定時闪妓，齒側(cè)間隙的變化對齒輪故障振動頻率的影響：

圖2-3是工況為：齒輪嚙合頻率為5888Hz、齒側(cè)間隙b=0齒輪故障振動分析穴眼，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖腿扑。從圖上可看出没赔，當(dāng)齒側(cè)間隙為0時，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh陆拐。的1取铃、2、3倍丛楚。相平面圖也穩(wěn)定于一個橢園極限環(huán)（見（c）圖）族壳。

圖2-4是工況為：齒輪嚙合頻率為5888Hz、但齒側(cè)間隙b＝0.1mm= 趣些。（齒厚）齒輪故障振動分析仿荆，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖坏平。從圖上可看出拢操，當(dāng)齒側(cè)間隙增加到O.lmm時，此時振動故障頻率仍為齒輪嚙合頻率f_meh的1舶替、2令境、3倍。相平面圖也穩(wěn)定于一個封閉曲線（見（c）圖）顾瞪。
圖2-5是工況為：齒輪嚙合頻率仍為5888Hz舔庶、但齒側(cè)間隙增加到b=0.15mm= （齒厚）齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖陈醒，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖惕橙。從圖上可看出瞧甩，當(dāng)齒側(cè)間隙繼續(xù)增加到0.15mm時，齒輪輪齒相對振動速度波形有較大的變化狭缰，此時振動故障頻率成份發(fā)生了改變羽剪，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/3、2/3罪靠、3/3殴燃、…倍。極限環(huán)經(jīng)過反復(fù)振蕩后也穩(wěn)定于一個封閉曲線（見（c）圖）季糜。

圖2-6對應(yīng)工況為：齒輪嚙合頻率仍為5888Hz斯荒、但齒側(cè)間隙增加到b=0.20mm （齒厚）齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖恰除，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖挨狡。從圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙為0.20mm時诵藐，齒輪輪齒相對振動速度波形也有較大的變化迫赞，振動速度幅值較前面增加了，此時振動故障頻率成份較復(fù)雜册血，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/6扑轮、2/6、3/6吠昭、…倍喊括。相平面圖趨向于一混沌狀態(tài)邊緣（見（c）圖）。

圖2-7是當(dāng)齒輪嚙合頻率仍為5888Hz矢棚、但齒側(cè)間隙增加到b=0.25mm= （齒厚）時郑什，齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖（（a）圖）和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖（(b）圖）。從（b）圖上可看出蒲肋，當(dāng)齒側(cè)間隙增加到0.25mm時蘑拯，此時振動故障頻率成份又發(fā)生了改變，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的l/12兜粘、2/12强胰、3/12、…倍妹沙。
圖2-8中偶洋，(a）圖和（b）圖分別是當(dāng)齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側(cè)間隙增加到b=0.3Omm （齒厚）時距糖，齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖玄窝。從（b）圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙為0.30mm時慢杜，此時振動故障頻率成份也發(fā)生了改變讼崔，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/5凌宫、2/5、3/5死辫、…倍麻坯。
總之，齒側(cè)間隙的變化對齒輪故障振動頻率有很大的影響檬舀。
(2）工作轉(zhuǎn)速對齒輪振動故障頻率的影響（此時設(shè)齒側(cè)間隙b=0.2mm):

圖2-9是當(dāng)齒輪嚙合頻率為1300Hz毙帚、齒側(cè)間隙b=0.2mm時，齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖（(a）圖）和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖（(b）圖）腹痹。從（b）圖上可看出熔布，當(dāng)齒側(cè)間隙為0.2mm時，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1下伙、2默徘、3倍，分?jǐn)?shù)諧波不明顯吗浩。
圖2-10中建芙，(a）圖和（b）圖分別是當(dāng)齒輪嚙合頻率增加到4000Hz、齒側(cè)間隙增加到b=0.2mm時齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖懂扼。從（b）圖上可看出岁钓，此時振動故障頻率仍為齒輪嚙合頻率f_meh的1、2微王、3倍，分?jǐn)?shù)諧波也不明顯品嚣，但2f_meh的幅值比1f_meh的大炕倘。
圖2-11中，(a）圖和（b）圖分別是當(dāng)齒輪嚙合頻率為so00Hz翰撑、齒側(cè)間隙b=0.2mm時齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖罩旋。從（b）圖上可看出，此時振動故障頻率發(fā)生了改變眶诈，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/13涨醋、2/13、3/13倍逝撬，明顯出現(xiàn)分?jǐn)?shù)諧波浴骂。

(3）工作載荷幅值的變化對齒輪振動故障頻率的影響：
圖2-4（b）是輕載時（小的齒側(cè)間隙）齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出愚矗，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1能航、2、3倍椭药，無分?jǐn)?shù)諧波成份出現(xiàn)挚蟹。
圖2-12是中載峡徽、齒側(cè)間隙增大時齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出木影，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/6绣首、2/6、3/6璃淤、…倍施旱，分?jǐn)?shù)諧波成份明顯。
圖2-13是更大的載荷（齒側(cè)間隙保持不變）時齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖卓您。從圖上可看出鸭嗡，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的l/4、2/4浙炼、3/4份氧、…倍，分?jǐn)?shù)諧波成份非常明顯弯屈∥现模可看出非線性時變系統(tǒng)與線性時變系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的齒輪振動故障頻率有很大的不同。

2.4考慮齒輪偏心的振動頻譜特征

當(dāng)只考慮齒輪扭轉(zhuǎn)振動而不考慮齒輪及軸的橫向振動時资厉，以往研究都沒有考慮到齒輪偏心質(zhì)量對齒輪扭轉(zhuǎn)振動的影響厅缺，實際上這個影響是存在的。不考慮齒側(cè)間隙時宴偿，P_n认嫔印（2-2）式，代入式（2-13）可得單級齒輪系統(tǒng)帶偏心質(zhì)量的振動微分方程：

由于θ窄刘， 前面的系數(shù)和時變剛度K(t）及θ窥妇， ，有關(guān)娩践，不是常數(shù)活翩，故方程組（2-14)也是一個非線性時變方程組。
采用變步長R-K方法解方程組（2-20）翻伺，得到齒輪相對振動位移矩袖、速度時程響應(yīng)，如對這時域信號進(jìn)行FFT變換第六，就可得到幅值譜拖牢。圖2-14(a）、2-14(b）分別是考慮齒輪偏心與不考慮齒輪偏心的齒輪振動位移乙遵、速度比較圖聋账。從圖上可看出，考慮齒輪偏心與不考慮齒輪偏心在齒輪振動位移境仁、速度的幅值上是有差別的毕察，前者比后者在最大幅值處大5%左右匹氯；兩者在振動位移、速度的相位上無差別库绩。圖2-15(a）重抑、圖2-15(b）是齒輪輪齒相對振動速度時程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出峡蓖，此時振動故障頻率發(fā)生了改變亿永，振動故障頻率除了齒輪嚙合頻率r_meh的1、2换怖、3倍外甩恼，還有齒輪所在軸的軸頻。

根據(jù)前面的分析結(jié)果沉颂，我們可認(rèn)為在分析齒輪的扭轉(zhuǎn)振動故障頻率時条摸，由于齒輪輪齒的動力藕合，必須考慮齒輪的偏心質(zhì)量的影響铸屉。

2.5小結(jié)

1在齒輪工作轉(zhuǎn)速和載荷不變時钉蒲，齒側(cè)間隙的變化對齒輪故障振動頻率有很大的影響。當(dāng)齒輪磨損加劇彻坛、齒側(cè)間隙增加時顷啼，齒輪故障振動頻率除了有嚙合頻率的整數(shù)倍成份外，還增加了分?jǐn)?shù)倍的諧波成份昌屉。
2當(dāng)考慮齒側(cè)間隙時钙蒙，工作轉(zhuǎn)速的變化對齒輪振動故障頻率也有影響。當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到一定數(shù)值時间驮，工作轉(zhuǎn)速越高躬厌，齒輪故障振動頻率分?jǐn)?shù)成份越明顯。而當(dāng)不考慮齒側(cè)間隙時团春，工作轉(zhuǎn)速的變化對齒輪振動故障頻率的成份無影響。

3當(dāng)考慮齒側(cè)間隙時娄缴，工作載荷幅值的變化對齒輪振動故障頻率的影響兔卤。輕載時，齒輪故障振動頻率無分?jǐn)?shù)成份：中載和重載時摊梯，載荷越大云盲，齒輪故障振動頻率分?jǐn)?shù)成份次諧波越明顯，且幅值也增加杀乃。
4在分析齒輪的扭轉(zhuǎn)振動故障頻率時球逢，由于齒輪輪齒的動力耦合的效果，應(yīng)考慮齒輪的偏心質(zhì)量的影響碳环。