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 不對(duì)中狀態(tài)的理論分析

4.1以材料力學(xué)為基礎(chǔ)的受扭分析

聯(lián)軸器正常工作情況下，只受到一個(gè)旋轉(zhuǎn)的扭矩。因此首先來(lái)研究圓環(huán)受扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力翅窥，這要綜合研究幾何单默、物理和靜力等三方面的關(guān)系筏匪。

4.1.1變形幾何關(guān)系
為了觀察圓軸的扭轉(zhuǎn)變形抵窒，與薄璧圓筒受扭一樣萨咕，在圓周表面上作圓周線和縱向線丑孩，在扭轉(zhuǎn)力偶矩m作用下冀宴，得到與薄璧圓筒受扭時(shí)相似的現(xiàn)象灭贷。即：各圓周線繞軸線相對(duì)地旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，但大小略贮，形狀和相鄰圓周線的距離不變甚疟，在校變形的情況下，縱向線仍然近似地是一條直線梯盹。只是傾斜了一個(gè)微小的角度俗股，變形前表面上的方格，變形后錯(cuò)動(dòng)成菱形约绒。
根據(jù)觀察到的現(xiàn)象馁言，做下述基本假設(shè)：圓周扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持平面痛主，形狀和大小不變群骂，半徑仍保持為直線；且相鄰兩截面間的距離不變罕擒。這就是圓周扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)俱猪。按照這一假設(shè)，扭轉(zhuǎn)變形中氧液，圓軸的橫截面就像剛性平面一樣跟媚，繞軸線旋轉(zhuǎn)了個(gè)角度。以平面假設(shè)為基礎(chǔ)到處的應(yīng)力和變形計(jì)算公式沧仿，符合試驗(yàn)結(jié)果箍秧，且與彈性力學(xué)一致。
在圖4.1中馁筐，ф表示圓周兩端截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角涂召，稱為扭轉(zhuǎn)角。扭轉(zhuǎn)角用弧度來(lái)度量敏沉。用相鄰的橫截面p-p和q-q從軸中取出長(zhǎng)為dx的微段果正。剪應(yīng)變

y=P                                            （4-1）

式中dф／dx是轉(zhuǎn)角中沿x軸的變化夔。對(duì)一個(gè)給定的截面來(lái)說(shuō)盟迟，它是常量秋泳。公式表明，橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離p成正比攒菠。
4.1.2物理關(guān)系
以 表示橫截面上距圓心為p出的剪應(yīng)力迫皱，由剪切胡克定律知道

=G·y                                         （4-2）

將式（5-1）代入上式則可以得到

= G·P                                       （4-3）

這表明，橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力 _P與該點(diǎn)到原新的距離P成正比辖众。因?yàn)閅_P發(fā)生于垂直于半徑的平面內(nèi)卓起，所以Y_P也與半徑垂直。如果注意到剪應(yīng)力互等定理凹炸，則在縱向截面和模截面上戏阅，沿半徑剪應(yīng)力的分布如圖4.2所示

    

因?yàn)楣�式中�?dф／dx尚未求出肚乓，所以仍不能用它計(jì)算剪應(yīng)力，這就要用靜力關(guān)系來(lái)解決殿腺。

4.1.3靜力關(guān)系

于圓軸橫截面內(nèi)肄慨，按極坐標(biāo)取微分面積dO，求出內(nèi)力系對(duì)圓心的力矩就是截面上的扭矩即：

  

Ip稱為橫截面對(duì)圓心點(diǎn)的極慣性矩瓮窑。由公式可以算出橫截面上距圓心為p的任一點(diǎn)的剪應(yīng)力為：

   

在圓截面邊緣上，p為最大值R队屋，得到最大剪應(yīng)力為：

        

引用記號(hào)W_t= 拱屈，W_t為抗扭截面系數(shù)，便可以改寫公式為τ_mox= 卵手，導(dǎo)出的公式中引進(jìn)了截面極慣性矩和抗扭截面系數(shù)鸦贩，在空心軸的情況下有

  

其中D和d分別為空心圓截面的外徑和內(nèi)徑，R為外半徑诫列，a=d/D

最后建立圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件垄怯，根據(jù)軸的受力情況或扭矩圖，求出最大扭矩T_max剂东。對(duì)于等截面桿迂卢，按照公式算出最大剪應(yīng)力τ_max不超過(guò)許用應(yīng)力[τ]，

4.2以彈塑性力學(xué)為基礎(chǔ)的受扭分析

在材料力學(xué)中已知圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形規(guī)律桐汤。隨著扭矩M_T的增加而克，剪應(yīng)力也不斷增大。由于圓軸最多層剪應(yīng)力最大怔毛，因而最外層首先進(jìn)入塑性狀態(tài)员萍，此時(shí)的扭矩就是圓軸的彈性極限扭矩

M_T= （τ_θz）_max                                     （4-11）

（1）當(dāng)最外層開(kāi)始屈服時(shí)，此時(shí)最外層剪應(yīng)力應(yīng)達(dá)到剪切屈服應(yīng)力τ_y拣度，即（τ_θz）_max=τ_y碎绎，如圖4.4（a），于是有 τ_y抗果。

若選用Mises屈服準(zhǔn)則筋帖，則有

若選用Tresca屈服準(zhǔn)則，則有

（2）當(dāng)圓軸整個(gè)截面都進(jìn)入塑性狀態(tài)窖张，如圖4.4（c）幕随，此時(shí)的扭矩就是圓軸的塑性極限 ，即

若選用Mises屈服準(zhǔn)則宿接，則

若選用Tresca屈服準(zhǔn)則赘淮，則

（3）當(dāng)扭矩M_T處于彈性與塑性極限扭矩之間時(shí)，即 <M_T< 時(shí)醇盏，則圓軸外層處于塑性狀態(tài)腔族，內(nèi)層處于彈性狀態(tài)虑夕，彈性區(qū)與塑性區(qū)的分界面半徑為r_P,此時(shí)扭矩

此時(shí)剪應(yīng)力在截面上沿半徑R的分布情況見(jiàn)如圖4.4（b）所示。

若先Mises屈服準(zhǔn)則羽折，則有

若選用Tresca屈服準(zhǔn)則沼改，則有

隨著扭矩的增加，塑料性區(qū)由圓軸的外層向軸的中心逐漸擴(kuò)大巍樟，直至整個(gè)截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài)经翻。當(dāng)軸的整個(gè)截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài)后，圓軸將進(jìn)入無(wú)約束的塑性變形捍幽，此時(shí)的圓軸將完全喪失承載能力竹砾。

彈性與塑性極限扭矩之比為：

4.3軸向不對(duì)中時(shí)的聯(lián)軸器的工作狀態(tài)

在像膠右端面圓環(huán)上取單元體，且在分析過(guò)程中時(shí)取關(guān)鍵的四個(gè)象限點(diǎn)的位置作為研究對(duì)象衩缘，分別為90°吊违，180°，270°延都，360°位置為研究對(duì)象雷猪。后面的徑向不對(duì)中、角向不對(duì)中以及綜合不對(duì)中也采用相同的4個(gè)位置進(jìn)行分析晰房。

軸向不對(duì)中時(shí)求摇，由于軸向的偏移，橡膠圓環(huán)左端面受到附加嫉你，的向左拉應(yīng)力月帝，右端面則受到附加的向右的拉應(yīng)力，并且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中幽污，拉應(yīng)力σ_ax的大小和方向的大小和方向都不會(huì)隨著圓環(huán)的旋轉(zhuǎn)角度改變而改變嚷辅；由橡膠圓環(huán)旋轉(zhuǎn)扭矩產(chǎn)生的剪應(yīng)力τ_rot方向始終與其線速度方向相反，而線速度方向在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中不斷的變化距误。軸向不對(duì)中時(shí)的應(yīng)力情況應(yīng)該是σ_ox與τ_rot的疊加簸搞，所以其受力情況比較復(fù)雜。
根據(jù)實(shí)際情況計(jì)算出工作時(shí)的剪應(yīng)力：GK2型內(nèi)燃機(jī)車啟動(dòng)發(fā)電機(jī)ZQF-38TH,115V,38KW,1170～358Or/min准潭；GK2型內(nèi)燃機(jī)機(jī)用柴油機(jī)型號(hào)為MTU16V396TC14趁俊，持續(xù)功率為1378KW，旋轉(zhuǎn)角速度為18O0rod/min完骑。柴油機(jī)冷區(qū)液溫度為40℃時(shí)最小啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩包括加速余量約8OON.m剩跛，曲軸扭矩約75ON.m

根據(jù)聯(lián)軸器破壞時(shí)的橡膠圓環(huán)的裂紋方向和角度，可以知道裂紋有一個(gè)40⁰的斜角谢佩，也就是說(shuō)引起破壞的應(yīng)力平面具有一定的角度优狡。首先假設(shè)破壞僅僅是源于軸向不對(duì)中應(yīng)起的，下面對(duì)具體的位置進(jìn)行討論绷举。

（1）軸向不對(duì)中90°位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最上方時(shí)铣瞒，也就是90°位置時(shí)芯拇，單元體的應(yīng)力如下圖所示。

此時(shí)的受力情況其實(shí)屬于二向應(yīng)力狀態(tài)腔资，利用解析法可知

最大主應(yīng)力平面如圖4.9所示双漫。

（2）軸向不對(duì)中180°位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最左端時(shí)，也就是180°位置時(shí)淡厦，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的受力情況仍然屬于二向應(yīng)力狀態(tài)刑吕，只是分析的平面沿著跟著旋轉(zhuǎn)了90°，得出最大旋乙、最小主應(yīng)力為

此時(shí)主平面上的正應(yīng)力平面的角度有這種關(guān)系卸酿，即a₂較a₁逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°

（3）軸向不對(duì)中270°位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最下方時(shí)，也就是270°位置時(shí)穿扳，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的受力情況仍然屬于二向應(yīng)力狀態(tài)，只是分析的平面跟著旋轉(zhuǎn)了90°国旷，

此時(shí)主平面上的正應(yīng)力平面的角度有這種關(guān)系矛物，即a₃較a₂逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°

（4）軸向不對(duì)中360°位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最右端時(shí)，也就是360°位置時(shí)跪但，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的受力情況仍然屬于二向應(yīng)力狀態(tài)履羞，

只是分析的平面跟著再旋轉(zhuǎn)了90°，此時(shí)主平面上的正應(yīng)力平面的角度有這種關(guān)系屡久，即a₄較a₃旋轉(zhuǎn)了90°

tg2o₄=-                                                     （4-27）

由上面的分析可知忆首，在軸向不對(duì)中時(shí)，聯(lián)軸器受到的最大應(yīng)力的大小始終不變被环， 大應(yīng)力方向隨著旋轉(zhuǎn)角度變化糙及。

4.4徑向不對(duì)中時(shí)的聯(lián)軸器的工作狀態(tài)
徑向不對(duì)中時(shí)，由于徑向的偏移筛欢，橡膠圓環(huán)左端面受到附加的向下的剪應(yīng)力浸锨，右端面受到附加的向上的剪應(yīng)力，并且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中蝴勉，剪應(yīng)力τ_rad的大小和方向都不會(huì)隨著圓環(huán)的旋轉(zhuǎn)角度改變而改變私庇；由橡膠圓環(huán)旋轉(zhuǎn)扭矩產(chǎn)生的剪應(yīng)力τ_rot，方向始終與其線速度方向相反生肖，而線速度方向在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中不斷的變化舀蚕，徑向不對(duì)中時(shí)的應(yīng)力情況應(yīng)該是τ_rad與τ_rot，的疊加盘瞄。所以其受力情況比較復(fù)雜厢申。同樣取徑向位移的方向?yàn)閥軸，與徑向位移垂直的方向?yàn)閤軸宵渡，建立坐標(biāo)系增量。分別取四個(gè)象限點(diǎn)的位置狀態(tài)作為研究重點(diǎn)她打，分別對(duì)單元體進(jìn)行應(yīng)力分析。

（1）徑向不對(duì)中90°位置時(shí)童唧，這時(shí)由栽埠，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的應(yīng)力屬于空間應(yīng)力狀態(tài)分析，變形體中任何一點(diǎn)處的應(yīng)力在不同方向的平面上有不同的值镐胃。所謂應(yīng)力狀態(tài)指的是任意一點(diǎn)處的應(yīng)力的大小和方向以及不同平面上應(yīng)力間的關(guān)系镶骗。在主平面上，只有正應(yīng)力躲雅，而剪應(yīng)力分量等于零鼎姊。主平面上的正應(yīng)力叫做主應(yīng)力。由代數(shù)理論可知相赁，有以下方程
                                     （4-28）

該方程有三個(gè)實(shí)根相寇，分別為σ₁，σ₂钮科，σ₃唤衫，且有σ₁≥σ₂≥σ₃，此三個(gè)應(yīng)力即為分別作用于三個(gè)相互垂直平面上的主應(yīng)力值绵脯，并且在此三個(gè)平面上無(wú)剪切應(yīng)力佳励。當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，雖然每個(gè)應(yīng)力分量都隨之改變蛆挫，但是有些量是不變的赃承，I_l，I₂悴侵，I₃分別為第一瞧剖，第二，第三應(yīng)力不變量忌颠。

σ_zx=τ_rod分別代入（4-29）（4-30）（4-31）漏匿，得到具體的三個(gè)不變量的值

由式（4-35）可知，最大應(yīng)力平面剛好在垂直于正弦矢量相加的方向敲非。

當(dāng)τ_rot=10MPo時(shí)衅洞，可以算出σ_max=σ₁=

（2）徑向不對(duì)中180°位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最左端時(shí)，也就是180°位置時(shí)笋窍，單元體的應(yīng)力如下圖所示

由圖示可知流肢，此時(shí)單元體的受力其實(shí)是屬于純剪切狀態(tài)，只是此時(shí)的剪切應(yīng)力為τ_rad與τ_rot的疊加项凉。此時(shí)剪應(yīng)力τ_rad與τ_rot的方向相反期位。所在最大應(yīng)力有所抵消。

此時(shí)主平面上的正就力平面的角度有這種關(guān)系：tg2a₂=-∞，所有a₂=-45⁰或-135⁰

當(dāng)τ_rot=10MPa時(shí)剩膏，可以算出σ_max=30-10=20MPa

（3）徑向不對(duì)中270⁰位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最下方時(shí)胳瑟，也就是270⁰位置時(shí)，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的受力由圖上可以看出砂豌，屬于空間應(yīng)力狀態(tài)厢岂，其基本分析過(guò)程類似于徑向不對(duì)中90⁰狀態(tài)，現(xiàn)在將徑向不對(duì)中270⁰時(shí)的受力情況：σ_xx=0阳距，σ_yy=0塔粒，σ_zz=0，τ_xy=-τ_rot筐摘，σ_yz=0卒茬，σ_zx=0，σ_zx=τ_rod分別代入式（4-29）（4-30）（4-31）咖熟，得到

將上述主應(yīng)力的值代入就可以得知

由式（4-39）可知圃酵，最大應(yīng)力平面剛好在垂直于正弦矢量相加的方向。這與徑向不對(duì)中90°位置的情況有些相似馍管。

當(dāng)τ_rot=10MPa時(shí)辜昵，可以算出σ_max=σ₁=

（4）徑向不對(duì)中360°位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最右端時(shí)，也就360°位置時(shí)咽斧，單元體的應(yīng)力如下圖所示

由圖示可知，此時(shí)單元體的受力其實(shí)是屬于純剪切狀態(tài)躬存，只是此時(shí)的剪切應(yīng)力為τ_rad與τ_rot的方向相同糯锦，而在180⁰時(shí)方向相反，所以有

此時(shí)主平面上的正應(yīng)力平面的角度有這種關(guān)系：tg2a₄=-∞灶花，所以有a₄-45⁰或-135⁰

當(dāng)τ_rot=10MPa時(shí)值膝，可以算出σ_max=30-10=40MPa

從徑向不對(duì)中的情況可知，可以知道聯(lián)軸器的單元體即有三向工作應(yīng)力狀態(tài)艰吏，又存在純剪切的工作狀態(tài)欺垛，其最大工作應(yīng)力大小和方向都隨著橡膠圓環(huán)的改變而改變。涣累，在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中隆鹤，綜合考慮四個(gè)不同的位置時(shí)最大主應(yīng)力的大小，由于（τ_rot­+τ_rad）>> （τ_rot-τ_rad）蹦争，所以可以知道最大的最大應(yīng)力為應(yīng)該是聯(lián)軸器360°位置時(shí)的最大主應(yīng)力汪请，最大主應(yīng)力平面方向與y軸成45⁰夾角。即360⁰位置為徑向不對(duì)中時(shí)的危險(xiǎn)點(diǎn)瑞捂。
4.5角向不對(duì)中時(shí)的聯(lián)軸器的工作狀態(tài)
角向不對(duì)中時(shí)贸左，由于兩軸之間存在一定的夾角，使得橡膠圓環(huán)最上方受到附加的拉應(yīng)力，而圓環(huán)的最下端則受到附加的壓應(yīng)力矿卑，這個(gè)附加的拉應(yīng)力σ_ang的大小和方向隨著圓環(huán)的旋轉(zhuǎn)角度改變而改變喉恋，在最上方時(shí)受拉，且絕對(duì)值最大母廷，在最下方受壓轻黑，絕對(duì)值亦最大，所以其變化的過(guò)程圖形類似于余弦函數(shù)徘意；由橡膠圓環(huán)旋轉(zhuǎn)扭矩產(chǎn)生的剪應(yīng)力氣．方向始終與其線速度方向相反苔悦，而線速度方向在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中不斷的變化。角向不對(duì)中時(shí)的應(yīng)力情況應(yīng)該是椎咧。σ_ang與τ_rot­的疊加玖详。所以其受力情況比較復(fù)雜。分別取四個(gè)象限點(diǎn)的位置狀態(tài)作為研究重點(diǎn)勤讽，分別對(duì)單元體進(jìn)行應(yīng)力分析蟋座。
(1）角向不對(duì)中90⁰位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最上方時(shí)，也就是90⁰位置時(shí)脚牍，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的受力情況其實(shí)屬于二向應(yīng)力狀態(tài)向臀，即為拉扭結(jié)合，

此時(shí)主平面上的正應(yīng)力平面的角度有這種關(guān)系

應(yīng)力平面如圖4.24所示碗品。此時(shí)的最大應(yīng)力值為

（2）角向不對(duì)中180°位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最左端時(shí)隆文，也就是180°位置時(shí)，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的受力圖中可以看出芽嗓，附加的拉應(yīng)力已經(jīng)減小為零韧践，實(shí)際上單元體受力其實(shí)屬于純剪切狀態(tài)，

此時(shí)主平面上的正應(yīng)力平面的角度有這種關(guān)系：tg2a₂=-∞班卖，所以有a₂=-45⁰或-135⁰随象，最大主應(yīng)力值為σ_max=30MPa

（3）角向不對(duì)中270°位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最下方時(shí)，也就是270°位置時(shí)呆纤，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的受力情況其實(shí)屬于二向應(yīng)力狀態(tài)聪蔬，只是這時(shí)的附加應(yīng)力變成了壓應(yīng)力。即拉應(yīng)力變成了負(fù)號(hào)屯片。利用拉扭結(jié)合時(shí)的應(yīng)力分析方程可知

（4）角向不對(duì)中360⁰位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最右端時(shí)无价，也就是360⁰位置時(shí)，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的受力圖中可以看出床重，附加的拉應(yīng)力已經(jīng)減小為零觅冈，實(shí)際上單元體受力其實(shí)屬于純剪切狀態(tài)，

此時(shí)主平面上的正應(yīng)力平面的角度有這種關(guān)系：tg2a₄=-∞昵慌，所以有a₄=-45⁰或-135⁰假夺，此時(shí)的最大應(yīng)力值為σ_max=30MPa

通過(guò)角向不對(duì)中的分析可以知道淮蜈，具有角向不對(duì)中的聯(lián)軸器受力情況仍然屬于兩向應(yīng)力狀態(tài)，即只有拉扭結(jié)合與純剪切的情況發(fā)已卷，沒(méi)有三向應(yīng)力狀態(tài)梧田，比較四個(gè)位置的最大主應(yīng)力

可以知道，在聯(lián)軸器旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中侧蘸，最大主應(yīng)力在90⁰位置裁眯。即90⁰位置為角向不對(duì)中時(shí)的危險(xiǎn)點(diǎn)。
4.6綜合不對(duì)中時(shí)的聯(lián)軸器的工作狀態(tài)
綜合三種不對(duì)種情況讳癌，對(duì)圓環(huán)的單元體進(jìn)行綜合受力分析穿稳。由于實(shí)際工作中聯(lián)軸器兩軸之間不僅存在一定的徑向和軸向位移，而且存在一定的偏角晌坤。使得橡膠圓環(huán)受到附加的軸向拉應(yīng)力σ_ax逢艘，附加的徑向剪應(yīng)τ_rad，附加的角向應(yīng)力σ_ang骤菠，以及由橡膠圓環(huán)旋轉(zhuǎn)扭矩產(chǎn)生的剪應(yīng)力τ_rot它改。所以綜合不對(duì)中的應(yīng)力情況應(yīng)該是σ_ax、τ_rad刃傻、σ_ang與τ_rot的疊加引苇。所以其受力情況比較復(fù)雜。仍然按照上面類似的方法分別取四個(gè)象限點(diǎn)的位置狀態(tài)作為研究對(duì)象鸣谒，分別對(duì)單元體進(jìn)行應(yīng)力分析牌鹊。
(l）綜合不對(duì)中位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最上方時(shí)，也就是90⁰位置時(shí)沟奸，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的應(yīng)力情況屬于三向應(yīng)力狀態(tài)飒迅，所以其分析過(guò)程和徑向不對(duì)中90⁰以及270⁰以情況相似，只是這里還有了附加的軸向拉應(yīng)力和附加的角向應(yīng)力懊玖，將各個(gè)應(yīng)力值σ_xx=σ_ax+σ_ang，σ_yy=0扔相，σ_zz=0力鹰，τ_xy=τ_rot，τ_yz=0厚遗，τ_zx=τ_rad分別代入式（4-29）（4-30）（4-31）中腺首，可以得到

I₁=σ_ax+σ_ang+0+0=σ_ax+σ_ang

I₃=0-0-0-0+0=0

再將三個(gè)應(yīng)力不變量代入方程 - I₁ + I₂σ_v- I₃=0中，得到

-（σ_ax+σ_ang） -（ ）σ_v=0                            （4-48）

解出這個(gè)方程黔攒，可以得到三個(gè)主應(yīng)力的值

（2）綜合不對(duì)中180⁰位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最左端時(shí)趁啸，也就是180⁰位置時(shí)，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的受力仍然屬于兩向應(yīng)力狀態(tài)督惰，因?yàn)閺较虿粚?duì)中產(chǎn)生的剪應(yīng)力方向和扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的剪應(yīng)力的方向在同一平面上而且相互平行不傅。根據(jù)計(jì)算可以知道

此時(shí)主平面上的正應(yīng)力平面的角度有這種關(guān)系

（3）結(jié)實(shí)合不對(duì)中270⁰位置：沒(méi)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最下方時(shí)，也就是270⁰位置時(shí)，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的應(yīng)力情況屬于三向應(yīng)力狀態(tài)访娶，所以其分析過(guò)程和徑向不對(duì)中90⁰以及270⁰情況相似商虐，只是這里還有了附加的軸向拉應(yīng)力和附加的角向應(yīng)力，將各個(gè)應(yīng)力值

將上述主應(yīng)力的值代入就可以得知

這時(shí)取σ_ax=10.6MPa崖疤，τ_rad=10MPa秘车，σ_ang=10.6MPa，代入式（4-49）中劫哼，可以得出最大主應(yīng)力為σ_max= =31.6MPa

（4）綜合不對(duì)中360°位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最右端時(shí)叮趴，也就是360°位置時(shí)，單元體的應(yīng)力如下圖所示

此時(shí)的受力仍然屬于兩向應(yīng)力狀態(tài)权烧，

此時(shí)主平面上的正應(yīng)力平面的角度有這種關(guān)系

這時(shí)取σ_ax=10.6MPa丰躺，τ_rad=10MPa，代入式（4-56）中鹤仲，可以得出最大主應(yīng)力值為

σ_max= =45.65MPa

現(xiàn)在比較一下四個(gè)不同位置時(shí)的最大主應(yīng)力的大小

根據(jù)上面的分析攘调，可以知道聯(lián)軸器在綜合受力的情況下，其總的應(yīng)力情況與四個(gè)量有關(guān)壕赘，也就是σ_ax拾哈、τ_rad、σ_ang與τ_rot的疊加铐儡。為了能夠更加形象直觀地描述由于不對(duì)中量產(chǎn)生的附加應(yīng)力與總應(yīng)力的關(guān)系染痊，下面進(jìn)行曲線的擬合∏齑校考慮到σ_ax與σ_ang方向都在同一直線上组救，而τ_rad與τ_rot的方向也在一條直線上，但是這兩條直線相互垂直胚高。所以以σ為橫坐標(biāo)軸辰车，τ為縱坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系后。各個(gè)不對(duì)中量都有一個(gè)范圍抛虏，因而由不對(duì)中量引的附加應(yīng)力也有一個(gè)范圍博其，

綜合以后可知，附加應(yīng)力的在一個(gè)大的矩形里面變化迂猴。見(jiàn)圖4.39慕淡。矩形的方程由下面兩式?jīng)Q定：

而在聯(lián)軸器旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，各個(gè)不對(duì)中量都是定值沸毁，此時(shí)應(yīng)力范圍在見(jiàn)圖4.40的橢圓峰髓。該橢圓的方程為

4.7本章小結(jié)

本章主要從力學(xué)的角度對(duì)聯(lián)軸器進(jìn)行各種不對(duì)中的分析。從聯(lián)軸器各種不對(duì)中的分析結(jié)果可以得出以下結(jié)論息尺。

1.在軸向不對(duì)中時(shí)携兵，在給定的軸向不中量情況下疾掰，有最大主應(yīng)力為 最大應(yīng)力方向隨著旋轉(zhuǎn)角變化。

2.在徑向不對(duì)中時(shí)眉孩，在給定的徑向不中量情況下个绍，最大主應(yīng)力為發(fā)生在聯(lián)軸器360°位置，有σ_max=+（τ_rot+τ_rad）浪汪。最大主應(yīng)力平面方向與y軸成45⁰夾角巴柿。即360°位置為徑向不對(duì)中時(shí)的危險(xiǎn)點(diǎn)。

3.在角向不對(duì)中時(shí)书吗，在給定的角向不中量情況下栓属，最大主應(yīng)力發(fā)生在90⁰位置， 女践。即90⁰位置為角向不對(duì)中時(shí)的危險(xiǎn)點(diǎn)周矢。

4.在綜合不對(duì)中時(shí)，在給定的軸向盹斟、徑向和角向不中量的情況下沟赏，最大應(yīng)力為發(fā)生在聯(lián)軸器90°位置，即有 最大危險(xiǎn)點(diǎn)在90⁰位置焰垄。

隨后根據(jù)上述結(jié)論進(jìn)行了不對(duì)中量范圍的討論提钟。最后得出了用一個(gè)大的矩形來(lái)表示由于不對(duì)中產(chǎn)生的附加應(yīng)力的范圍。矩形的形狀由下面的兩個(gè)式子來(lái)決定：

最后根據(jù)實(shí)際情況的不對(duì)中量藐檀，繪出了聯(lián)軸器在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中最大應(yīng)力的橢圓锻转。該橢圓的方程為 。